Лабораторная работа №7. Цель:математические модели прикладных задач (распространение теплоты).

Цель: математические модели прикладных задач (распространение теплоты).

Задача 1: Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна , и тело в течение времени охлаждается от до , то через какое время температура его понизиться до .

Решение: Принцип изменения температуры тела, с учетом температуры окружающей среды описывается следующим равенством:

, (7.1)

где - температура тела в момент времени , - температура воздуха, - положительный коэффициент пропорциональности.

Для примерных расчетных данных, , , , , , при условии, что , , , имеем следующее:

, , , , . (*)

Из последнего равенства, определим постоянную , используя начальное условие, а именно, что в начальный момент времени температура изменяется с отметки , при моменте времени , тогда , . Подставляя найденное значение в два оставшихся условия, получаем следующую систему: . Найдем коэффициент пропорциональности . Сравнивая об уравнения системы, его удобно найти из первого уравнения: , , .

Подставляя найденный коэффициент пропорциональности в (*) и согласно поставленной задаче, определяем время , за которое температура тела понизится до отметки :

, , , , .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , .
2 вариант	, , , , .
3 вариант	, , , , .
4 вариант	, , , , .
5 вариант	, , , , .
6 вариант	, , , , .
7 вариант	, , , , .
8 вариант	, , , , .
9 вариант	, , , , .
10 вариант	, , , , .
11 вариант	, , , , .
12 вариант	, , , , .
13 вариант	, , , , .
14 вариант	, , , , .
15 вариант	, , , , .

Задача 2: Определить время совершения преступления и коэффициент пропорциональности температуры, если в момент обнаружения температура тела равнялась , а час спустя составляла (считать, что в момент смерти человека температура его тела равна , а температура воздуха ).

Решение: Используем равенство (7.1).

Тогда , и из равенства (7.1), разделяя переменные, получаем:

. (7.2)

Для примерных расчетных данных , , , , имеем следующее:

, , подставляя в (7.2), находим , , откуда - зависимость температуры с начального момента времени до изменений, связанных с ее изменением.

Теперь работаем с оставшимися двумя позициями температуры:

, , подставляем в полученную зависимость для температуры, , .

, , подставляем в полученную зависимость для температуры, , , .

Таким образом, получаем систему для последних полученных двух равенств: . (*)

Найдем составляющую . Для этого в последней системе уравнений поделим первое уравнение на второе почленно, , , .

Поскольку необходимо найти время совершения преступления в момент нахождения тела, то подставляя последнее в первое уравнение системы (*), имеем:

, , , .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , .
2 вариант	, , , .
3 вариант	, , , .
4 вариант	, , , .
5 вариант	, , , .
6 вариант	, , , .
7 вариант	, , , .
8 вариант	, , , .
9 вариант	, , , .
10 вариант	, , , .
11 вариант	, , , .
12 вариант	, , , .
13 вариант	, , , .
14 вариант	, , , .
15 вариант	, , , .

Задача 3: Паропроводная труба диаметром см защищена слоем магнезии толщиной см. Теплопроводность магнезии . Допустив, что температура трубы , а внешней поверхности слоя магнезии , найти распределение температуры внутри покрытия, а также количество теплоты, отдаваемое трубой в окружающую среду в течение времени на протяжении трубы в м.

Решение: Для примерных расчетных значений, , , (толщина трубы), , , , зависимость изменения количества теплоты может быть выражено следующим равенством:

, (7.3)

где - площадь боковой поверхности трубы, где - радиус трубы ().

Для данных значений, . .

Тогда, подставляя найденную площадь в (7.3), получим

, , . (*)

Теперь рассмотрим 2 случая:

, , подставляя их в (*), получим . (**)

, , подставляя их в (*), получим . (***)

Вычтем из второго уравнения первое, в итоге получим: , , , (за 1 секунду).

Подставляя полученное выражение для теплоты в (***), получим величину : , , .

Тогда выражая из (*) параметр : .

Следовательно, - распределение температуры внутри покрытия. Так как за 1 секунду количество теплоты, переданное в окружающую среду равно , то за сутки (86400 секунд), будет передано в окружающую среду, количество теплоты, равное .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , , .
2 вариант	, , , , , .
3 вариант	, , , , , .
4 вариант	, , , , , .
5 вариант	, , , , , .
6 вариант	, , , , , .
7 вариант	, , , , , .
8 вариант	, , , , , .
9 вариант	, , , , , .
10 вариант	, , , , , .
11 вариант	, , , , , .
12 вариант	, , , , , .
13 вариант	, , , , , .
14 вариант	, , , , , .
15 вариант	, , , , , .