Лабораторная работа №8. Цель:математические модели прикладных задач (биологическая популяция).

Цель: математические модели прикладных задач (биологическая популяция).

Задача 1: Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных веществ через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточного роста увеличение массы клетки в момент времени пропорционально квадрату радиусу клетки, а масса клетки пропорциональна его кубу. Построить дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы клетки в зависимости от времени , если начальная масса клетки равна . Найти массу клетки за время ее роста.

Решение: По условию, , , , , .

Следовательно, получаем систему уравнений: , где - коэффициент пропорциональности увеличения массы клетки на ранней стадии развития, - коэффициент пропорциональности увеличения массы клетки на поздней стадии развития.

Для удобства, выразим радиус клетки из второго уравнения системы: , и подставим в первое уравнение: .

Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим:

, . (8.1)

Так как в начальный момент времени, масса клетки равна , т.е. , то подставляя это условие в (8.1) находим постоянную величину : .

Следовательно, (8.1) можно переписать в следующем виде:

, , , при .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , (Яблоко)
2 вариант	, , , , (Груша)
3 вариант	, , , (Персик)
4 вариант	, , , , (Финик)
5 вариант	, , , , (Арбуз)
6 вариант	, , , , (Хурма)
7 вариант	, , , , (Киви)
8 вариант	, , , , (Банан)
9 вариант	, , , , (Апельсин)
10 вариант	, , , , (Дыня)
11 вариант	, , , , (Лук)
12 вариант	, , , , (Чеснок)
13 вариант	, , , , (Баклажан)
14 вариант	, , , , (Помидор)
15 вариант	, , , , (Кокос)

Задача 2: Популяция бактерий возрастает от начального размера единиц до равновесного размера единиц. Предполагается, что в течение первого времени , она увеличилась до . Считается, что рост популяции подчиняется логистическому уравнению, определить ее размер в момент времени .

Решение: Равновесное значение особей определяется как , где - соответственно, средние рождаемость и смертность в данной популяции.

Тогда в момент времени , численность популяции будет равна:

. (8.2)

Для нахождения постоянного значения , воспользуемся равенством:

, (8.3)

где - численность популяции в начальный момент времени ().

Для примерных расчетных данных, , , , , используя (8.2-8.3) получаем следующее:

, , , , , , .

В данном случае получили пропорциональность роста популяции в течение времени равную .

Подставляя данное значение в (8.2), получим численность популяции в момент времени : .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , .
2 вариант	, , , , .
3 вариант	, , , , .
4 вариант	, , , , .
5 вариант	, , , , .
6 вариант	, , , , .
7 вариант	, , , , .
8 вариант	, , , , .
9 вариант	, , , , .
10 вариант	, , , , .
11 вариант	, , , , .
12 вариант	, , , , .
13 вариант	, , , , .
14 вариант	, , , , .
15 вариант	, , , , .

Задача 3: Определить равновесный размер популяции, если на особей в единицу времени, особей рождается, а гибнет . Предполагается при этом, что начальная численность популяции равна особям. Построить график логистической кривой.

Решение: Определим величины , , , , . Тогда согласно модели Мальтуса , найдем соответствующие составляющие, при этом разделим переменные и проинтегрируем: .

Работаем с правой частью последнего равенства:

.

Подставляя в последнее равенство: , ,

, .

, .

Чтобы не путать с рождаемостью, обозначим параметр , стоящий под степенью экспоненты как , являющийся характеристикой пропорциональности роста численности популяции. Для его нахождения, используем тот же подход, что и в задачи 1.

а) если , , .

б) если , , .

.

, поэтому используем формулу .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , .
2 вариант	, , , , .
3 вариант	, , , , .
4 вариант	, , , , .
5 вариант	, , , , .
6 вариант	, , , , .
7 вариант	, , , , .
8 вариант	, , , , .
9 вариант	, , , , .
10 вариант	, , , , .
11 вариант	, , , , .
12 вариант	, , , , .
13 вариант	, , , , .
14 вариант	, , , , .
15 вариант	, , , , .