Лабораторная работа №9.

Цель: математические модели прикладных задач (растворение веществ)

Задача 1: Нерастворимое вещество, содержащее в своих порах кг соли, подвергается действию л воды. Через время , кг соли растворяется. Через сколько времени растворится первоначальной массы соли, если концентрация насыщенного раствора равна .

Решение: Пусть - масса нерастворенной соли в момент времени . Процесс растворения веществ описывается уравнением:

, (9.1)

где - коэффициент пропорциональности; - первоначальная масса соли.

Тогда для примерных расчетных данных: , , , , , , , .

Величина , получилась из тех соображений, что изначально нерастворимое вещество содержало 2кг соли, а поскольку необходимо определить время растворения 99 % первоначальной массы соли, то на оставшийся 1 % нерастворенной соли останется как раз .

Подставляя в (9.1) примерные данные, находим:

, , , .

Разделим переменные и проинтегрируем последнее равенство:

.

Левую часть равенства получим с помощью метода неопределенных коэффициентов: , . Поскольку знаменатели равны, приравняем и числители: .

Раскроем скобки в последнем равенстве, сгруппируем коэффициенты при соответствующих степенях переменной и приравняем данные сгруппированные коэффициенты в правой части к степеням в левой части равенства: , , .

Подставляя в исходное равенство найденные коэффициенты:

. Интегрируя до конца (7.5), получаем

, , ,

, , . (*)

Используя начальные условия, находим неизвестные величины, используя равенство (*):

, , .

, , , , , .

Итоговый вид уравнения (*) следующий:

.

Теперь подставляя вместо величину , находим итоговое время для растворения 99 % первоначальной массы соли:

, , , .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , , .
2 вариант	, , , , , .
3 вариант	, , , , , .
4 вариант	, , , , , .
5 вариант	, , , , , .
6 вариант	, , , , , .
7 вариант	, , , , , .
8 вариант	, , , , , .
9 вариант	, , , , , .
10 вариант	, , , , , .
11 вариант	, , , , , .
12 вариант	, , , , , .
13 вариант	, , , , , .
14 вариант	, , , , , .
15 вариант	, , , , , .

Задача 2: Из некоторого химически недеятельного вещества добывают серу, растворяя ее в бензоле. Найти, сколько серы можно растворить в течение времени ч, если в данном веществе содержится г серы и если взято г бензол (масса, в которой при насыщении растворяется г серы). Известно, что коэффициент пропорциональности .

Решение: Переведем коэффициент пропорциональности в единицы измерения , т.е. .

Для примерных значений, по условию задачи дано следующее: , , . Необходимо найти .

Тогда согласно (9.1) запишем процесс растворения данного вещества:

.

. С помощью метода неопределенных коэффициентов найдем правую часть последнего равенства.

, , ,

, .

Тогда, , ,

, , .

Так как в начальный момент времени (), в данном веществе, в котором будут растворять, содержится, серы, т.е. , то подставляя в последнее равенство , .

Следовательно, .

Так как по условию задачи, время, в течение которого будет растворяться сера, было равно , то .

Найдем : , , , , , .

То есть из 6 г серы, содержащихся в бензоле, в течение 6 часов (для данных значений) растворится только 5.9962 г серы.

Теперь найдем, сколько серы останется по истечении 6 часов взаимодействия со 100 г бензола: т.е. .

Варианты заданий:

1 вариант	, , .
2 вариант	, , .
3 вариант	, , .
4 вариант	, , .
5 вариант	, , .
6 вариант	, , .
7 вариант	, , .
8 вариант	, , .
9 вариант	, , .
10 вариант	, , .
11 вариант	, , .
12 вариант	, , .
13 вариант	, , .
14 вариант	, , .
15 вариант	, , .

Задача 3: В резервуаре вместимостью м³ находится рассол, содержащий кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью м³/мин, а из него вытекает с такой же скоростью смесь, причем концентрация поддерживается однородной (например, посредством перемешивания). Сколько соли содержится в резервуаре по истечении времени .

Решение: Для примерных расчетных данных, , , , , определим, сколько литров воды вытечет за время (для нынешних данных): .

Используя равенство (7.4), получаем систему:

. (*)

Работаем с первым уравнением данной системы. Приведем к общему знаменателю, разделим переменные и преобразуем: .

Используя метод неопределенных коэффициентов. Определим составляющие элементы в правой части последнего равенства:

, ,

, ,

, , .

Подставляя в первое равенство перед разложением, и интегрируя, получаем следующее: ,

, , ,

, ,

.

Поскольку масса соли в начальный момент времени , равнялась , т.е. , то подставляя это начальное условие в последнее равенство, определим величину , для первого уравнения системы (*):

, , .

Аналогично, решая второе дифференциальное уравнение системы (8), получим значение величины , для второго уравнения системы (*), а также начальное условие :

, , , .

Следовательно, зная концентрацию раствора, содержащего соль, можно определить постоянные величины , и, как следствие, начальную массу соли, содержащуюся в исходном объеме, если бы она была неизвестна. Тогда зависимость изменения массы вещества в растворе можно представить в следующем виде:

, (9.2)

где величина - среднее количество вещества в растворе.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем следующее:

, , , .

Используя начальное условие , находим : , . Следовательно, получаем зависимость изменения количества соли с учетом скорости, объема и времени взаимодействия (для данного случая): .

Поскольку необходимо было вычислить количество соли, оставшейся в резервуаре по истечении одного часа (), с учетом, что скорость втекания и вытекания воды одинакова и равна , при объеме резервуара , то .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , .
2 вариант	, , , .
3 вариант	, , , .
4 вариант	, , , .
5 вариант	, , , .
6 вариант	, , , .
7 вариант	, , , .
8 вариант	, , , .
9 вариант	, , , .
10 вариант	, , , .
11 вариант	, , , .
12 вариант	, , , .
13 вариант	, , , .
14 вариант	, , , .
15 вариант	, , , .

Задача 4: В резервуаре вместимостью м³ находится рассол, содержащий кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью м³/мин, а из него вытекает со скоростью м³/мин, причем концентрация поддерживается однородной посредством перемешивания. Сколько соли содержится в резервуаре по истечении времени .

Решение: Для примерных расчетных данных, , , , , , используя (9.2) определим изменение объема резервуара с учетом различных скоростей втекания и вытекания воды:

. (9.3)

Для расчетных данных, .

Таким образом, когда скорости втекания и вытекания в резервуар не совпадают, то (7.6) примет вид:

, (9.4)

где - скорость вытекания из резервуара.

Для данных значений, (9.4) примет вид: .

Разделяя переменные и интегрируя последнее равенство, получаем следующее:

, , ,

, , , .

Используя начальное условие, а именно, в начальный момент времени масса соли была равна 10 кг, т.е. , находим постоянную величину :

, , .

Тогда, по истечении времени , в резервуаре останется количество соли, равное .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , .
2 вариант	, , , ,
3 вариант	, , , ,
4 вариант	, , , , .
5 вариант	, , , , .
6 вариант	, , , , .
7 вариант	, , , , .
8 вариант	, , , , .
9 вариант	, , , , .
10 вариант	, , , , .
11 вариант	, , , , .
12 вариант	, , , , .
13 вариант	, , , , .
14 вариант	, , , , .
15 вариант	, , , , .

Задача 5: Воздух в помещении вместимостью м³ содержит % . В помещении равномерно поступает чистый воздух, содержащий % . Сколько кубических метров воздуха ежеминутно поступает в помещение, если по истечении времени содержание падает до %. Найти закон изменения объема с течением времени, если единицу времени в помещение поступает м³ воздуха.

Решение: для примерных данных, , , , , , получаем, что - объем в момент времени , а - объем в начальный момент времени , который определяется следующим образом:

. (9.5)

Для данных значений он равен , а по истечении 10 минут он будет равен .

Тогда изменение объема в помещении определяется зависимостью:

, (9.6)

где - концентрация в чистом воздухе.

Тогда для приведенных данных, , .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

, , , , , , .

Так как в начальный момент времени, объем был равен 12.96 м³, то подставляя это значение в последнее равенство, получим неизвестную величину : , , .

Следовательно, .

Так как по истечении 10 минут, объем стал равен 6.48 м³, то найдем величину : , ,

, , , , .

Тогда закон изменения объема с течением времени, если единицу времени в помещение поступает м³ воздуха, принимает вид:

, .

Варианты заданий:

1 вариант	, , , , .
2 вариант	, , , , .
3 вариант	, , , , .
4 вариант	, , , , .
5 вариант	, , , , .
6 вариант	, , , , .
7 вариант	, , , , .
8 вариант	, , , , .
9 вариант	, , , , .
10 вариант	, , , , .
11 вариант	, , , , .
12 вариант	, , , , .
13 вариант	, , , , .
14 вариант	, , , , .
15 вариант	, , , , .