Билет № 8. 1. Определение треугольника
1. Определение треугольника. Доказать теорему о сумме углов треугольника. Замечательные точки треугольника: центр тяжести, ортоцентр, центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.
Треуго́ льник — многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Дано: ∆ АВС.
Доказать: 
Доказательство:
1. Проведем 
Следствие 1. У любого треугольника хотя бы два угла острые.
Допустим, что у треугольника один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть хотя бы два угла, каждый из которых не меньше 90°, а сумма этих углов не меньше 180°. Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна 180°.
Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.
Допустим, что у треугольников АВС и МРТ соответственно равны углы: Ð А = Ð М, Ð В = Ð Р. Тогда Ð С = 180° - (Ð А + Ð В), Ð Т = 180° - (Ð М + Ð Р). Следовательно, Ð С = Ð Т.
Следствие 3. У прямоугольного треугольника сумма острых углов равна 90°.
Так как у прямоугольного треугольника один из углов прямой, то сумма двух других его углов равна 180° - 90° = 90°.
Следствие 4. У равнобедренного прямоугольного треугольника острые углы имеют градусную меру 45°.
Так как у прямоугольного треугольника один из углов прямой, то сумма двух других его углов равна 180° - 90° = 90°. Поскольку эти углы равны, то градусная мера каждого 90°: 2 = 45°.
Следствие 5. У равностороннего треугольника все углы имеют градусную меру 60°.
Так как у равностороннего треугольника все углы равны между собой, а их сумма равна 180°, то градусная мера каждого угла равна 180°: 3 = 60°.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с противоположной стороной. АК – биссектриса угла А.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. CM – медиана, проведенная к стороне АВ (АМ = МВ).
Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. ВР – высота, опущенная на сторону АС.
Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром и является центром вписанной окружности.
|
