Приклад розв’язку завдання 1.8

Для довільних множин А, В, С перевірить, являється чи ні виконання включення А È В C необхідною і достатньою умовою виконання рівності А Δ С = (В – А) È (C– А).

Розглянемо множини А, В, С: А= {1, 2, 4, 5}, В= {4, 5, 6, 7}, С= {2, 3, 5, 7}. У нашому випадку, як і в попередньому завданні, цифри означають відповідні списки змінних.

а) Подивимось, які множини ми отримаємо, якщо необхідно виконання вимоги А È В C. А È В={1, 2, 4, 5, 6, 7}, і щоб виконалася вимога А È В C, списки 1, 4, 6 повинні бути порожніми, а множини А, В, С будуть такі: А= {2, 5}, В= {5, 7}, С= {2, 3, 5, 7}. Тоді (В–А)È (C–А)= {7} È {3, 7}={3, 7}, А Δ С = {3, 7} і рівність А Δ С = (В – А) È (C– А) виконана.

б) Подивимось, який вид приймуть множини А= {1, 2, 4, 5}, В= {4, 5, 6, 7}, С= {2, 3, 5, 7}, щоб виконувалась рівність А Δ С = (В – А) È (C– А).

А Δ С = {1, 3, 4, 7}, (В–А)È (C–А)= {6, 7} È {3, 7}={3, 6, 7}.

Для виконання рівності А Δ С = (В – А) È (C– А) необхідно, щоб списки 1, 4 і 6 були порожні, і ми приходимо к тим самим множинам, що і в п. а, тобто А={2, 5}, В= {5, 7}, С= {2, 3, 5, 7}.

Бачимо, що цьому випадку А È В={2, 5, 7} C.

Значить, доведено, що для будь яких множин А, В, С виконання включення АÈ В C є необхідною і достатньою умовою виконання рівності А Δ С = (В – А) È (C– А).