Расчет параметров тренда

Понятие «тренд» было введено в статистику английским статистиком Гукером, которым он предложил обозначать уравнение тенденции.

Первым шагом в определении тренда необходимо выявить тип тенденции, а эта задача не является чисто математической. Наличие колебаний уровней крайне усложняет выявление типа тенденции и требует всестороннего подхода к этой проблеме, прежде всего качественного изучения характера развития объекта. При этом необходимо учитывать условия развития объекта в изучаемом периоде и характер действия основных факторов развития.

В крупных системах, где действует большое количество факторов, резкие, скачкообразные изменения в ряду динамики крайне редки. Большие и сложные системы обладают значительной инерцией, и для скачкообразного, резкого изменения тенденции такой системы требуются большие затраты ресурсов. Напротив, в масштабе несложных систем вполне возможны резкие изменения, переходы от одной тенденции к другой.

Одним из основных типов уравнений тренда является линейная форма тренда:

где - уровни, освобожденные от колебании, выровненные по прямой;

b - начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t;

a - среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени); константа тренда.

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.

Параметры тренда рассчитываются из следующих соотношений:

Если поместить начало отсчета в середину динамического ряда, то å t будет равняться нулю и формулы существенно упростятся:

, .

В статистических исследования используются и другие формы трендов – параболические, экспоненциальные, логарифмические, степенные, гиперболические и логистические. Параболическая форма тренда выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного развития, например снятии ограничений. Экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного (замедленного) и все более ускоряющегося (замедляющегося) возрастания уровней. Развитие любого объекта по экспоненциальному закону может продолжаться только небольшой исторический период времени, ибо ресурсы для любого процесса развития всегда встретят ограничения. Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения. Замедление роста становится все меньше и меньше, и при достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии. Логарифмический тренд пригоден для отображения эффективности системы при ее совершенствовании без качественных, коренных преобразований. Степенная форма - гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Гиперболический тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения (или роста) уровня, стремящегося к некоторому пределу.

Логистическая кривая имеет форму латинской буквы S положенной на бок, отчего еще называется S-образной кривой. Она имеет два перегиба: от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного роста посреди периода к замедляющемуся (выпуклость).

Устойчивость тенденции можно оценить с помощью коэффициента корреляции рангов Ч. Спирмена, который считается по формуле:

.

При полном совпадении (полной противоположности) рангов уровней и номеров периодов по их хронологическому порядку коэффициент Спирмена равен +1 (-1), что соответствует полной устойчивости возрастания (убывания) уровней.

Пример 5. Определим устойчивость тенденции по данным из таблицы 6 - числа зарегистрированных преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков в Российской Федерации (в единицах) за год с 1996г. по 2010 г. Промежуточные результаты оформим в виде следующей таблицы.

Таблица 8

Расчетное значение коэффициента корреляции по рангам составит:

, что свидетельствует о слабой устойчивости наблюдаемой тенденции и довольно сильной колеблемости.