Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Математическое ожидание случайной величины






 

Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

. (5.1)

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся х, а вероятность pi – элементом вероятности f (x) dx. Получаем формулу для математического ожидания непрерывной случайной величины (если интеграл абсолютно сходится):

. (5.2)

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С. (5.3)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

M (СX) = С·M (X). (5.4)

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

М (X Y) = M (X) M (Y). (5.5)

4. Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M (XY) = M (XM (Y). (5.6)

5. Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:

М (X С) = M (X) С. (5.7)

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M [ XM (X)] = 0. (5.8)

Пример 5.1. Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8 X – – 5 Y + 7, если известно, что M (X) = 3, M (Y) = 2.

Решение. Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

M (Z) = 8 M (X) – 5 M (Y) + M (7) = 8·3 – 5·2 + 7 = 21. ◄

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал