Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
|
|
Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.
Определение. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины:
 .
| (5.22) |
Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид:
 .
| (5.23) |
Для непрерывной случайной величины:
 .
| (5.24) |
Определение. Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
 .
| (5.25) |
Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:
 .
| (5.26) |
Для непрерывной случайной величины:
 .
| (5.27) |
Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание (ν 1 = М (Х)), при k = 2 второй центральный момент – дисперсия (μ 2= D (Х)).
Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.
Третий центральный момент μ 3 служит для характеристики асимметрии (т.е. скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на σ 3, где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины:
 .
| (5.28) |
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.
На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).
Четвертый центральный момент μ 4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.
Эксцессом случайной величины называется число
 .
| (5.29) |
(Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение μ 4/σ 4 = 3). Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.