Лекция № 4. Основные типы начальных и граничных условий для дифференциальных уравнений фильтрации – моделирование забоя скважины и контура питания пласта

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями – границами.

Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.

Начальные условия заключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый момент, принимаемое за начальное. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид:

P=P (x, y, z) при t=0, (1)

т.е. в начальный момент времени задается распределение давление во всем пласте.

Если в начальный момент пласт невозмущен, то начальное условие примет вид

P=P = const, при t=0, (2)

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

1. На внешней границе Г:

-постоянное давление

P(Г, t) = P = const (3)

т.е. граница является контуром питания;

-постоянный переток через границу

, (4)

где n – нормаль к границе Г;

- переменный переток через границу

(t); (5)

- замкнутая внешняя граница

0; (6)

- бесконечный по простиранию пласт

; (7)

2. На внутренней границе:

-постоянное давление на забое скважины радиуса

P(r =P ; (8)

- постоянный дебит. Это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:

Q = (9)

или

r при r=r ; (10)

где F= - площадь боковой поверхности скважины, h – толщина пласта;

-переменное давление на забое скважины

P(r при r=r (11)

- переменный дебит

при r=r ; (12)

- отключение скважины

0 при r=r ; (13)

Основная литература: 2 [39-45]

Дополнительная литература: 4 [44-51]

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под контуром питания?

2. Начальные условия.

3. Граничные условия.