![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Anova с повторными измерениями
Рассмотренные ранее варианты ANOVA применяются, когда разным градациям изучаемых факторов соответствуют разные группы объектов (испытуемых). Однако часто используются планы исследования, когда разным градациям фактора соответствует одна и та же группа объектов (зависимые выборки), В соответствии с этим различают межгрупповые и внутригрупповые факторы. Разным градациям межгруппового фактора (Between-subject Factor) соответствуют разные группы объектов, а разным градациям внутригруппового фактора (Within-subject Factor) соответствует одна и та же группа объектов (или зависимые выборки). ANOVA с повторными измерениями (Repeated Measures ANOVA или GLM Repeated Measures) применяется, когда по крайней мере один из факторов изменяется по внутригрупповому плану, то есть разным градациям этого фактора соответствует одна и та же выборка объектов (испытуемых). Конечно, эти выборки можно рассматривать как независимые и применять обычный вариант ANOVA. Но ANOVA с повторными измерениями имеет в этом случае существенное преимущество: он позволяет исключить из общей дисперсии данных ту ее часть, которая обусловлена индивидуальными различиями в уровне зависимой переменной. За счет этого метод оказывается более чувствительным к влиянию изучаемых факторов и позволяет с большей надежностью обнаруживать их эффекты. Таким образом, специфика ANOVA с повторными измерениями заключается в том, что из остаточной изменчивости (внутригрупповой) вычитается компонент, обусловленный индивидуальными различиями. Тем самым уменьшается дисперсия ошибки факторной модели и повышается чувствительность метода к воздействию факторов на зависимую переменную. В остальном, в частности — в отношении проверяемых гипотез, данный вариант ANOVA сохраняет сходство с рассмотренными выше методами ANOVA. Структура исходных данных: градациям внутригруппового фактора соответствует неоднократное измерение зависимой переменной для одной и той же группы объектов. Допускается наличие межгрупповых факторов, а также нескольких внутригрупповых факторов.
ПРИМЕР Изучалось влияние интонации на запоминание слов. В качестве материала использовался список из 24 не связанных по смыслу слов одинаковой длины и частоты встречаемости. Одной группе испытуемых весь список читался с неизменной интонацией, а другой — с интонационным выделением серединной восьмерки слов. Зависимой переменной выступало количество правильно воспроизведенных испытуемыми слов: из первых восьми слов ряда, из серединной и из последней восьмерки слов. Предполагалось, что во второй группе будет менее выражен эффект конца и начала ряда, то есть лучше запомнится интонационно выделенная середина ряда. Таким образом, план эксперимента включал 2 фактора: фактор А (внутригрупповой) — часть ряда (три градации); фактор В (межгрупповой) — интонационное выделение (две градации).
Таблица исходных данных:
Так же, как и в случае двух межгрупповых факторов, ANOVA с одним межгрупповым и одним внутри групповым факторами позволяет проверить три гипотезы: а) эффект внутригруппового фактора А; б) эффект межгруппового фактора В; в) эффект взаимодействия факторов А Исходные предположения и, соответственно, ограничения на применение ANOVA с повторными измерениями зависят от того, какая из двух моделей используется: одномерная или многомерная. Одномерная модель основана на предположении, что каждому уровню внутригруппового фактора соответствует повторное измерение одной и той же зависимой переменной (следовательно, эти измерения положительно коррелируют). Многомерная модель свободна от допущения о коррелированности измерений зависимой переменной. Общим для той и другой модели является исходное допущение о том, что множество измерений зависимой переменной для каждого испытуемого является выборкой из многомерного нормального распределения. Одномерный подход (Univariate approach) основан на применении F -отношения, свойственного и другим методам ANOVA. Однако его применение ограничено так называемым допущением о сферичности ковариационно-дисперсионной матрицы. Это допущение подразумевает, во-первых, что дисперсии зависимой переменной для разных уровней внутригруппового фактора не отличаются; во-вторых, корреляции между повторными измерениями есть, и они положительны. Для проверки этого предположения в компьютерных программах используется тест сферичности ковариационно-дисперсионной матрицы Моучли (Mauchly's Test of Sphericity). Если тест Моучли показывает статистически достоверный результат, то предположение о сферичности считается ошибочным, и одномерный подход неприменим. Однако на небольших выборках тест сферичности Моучли имеет малую чувствительность, а для больших выборок даже небольшие отклонения от сферичности дают статистически значимые результаты. При нарушении допущения о сферичности компьютерные программы предлагают специальную поправку (эпсилон-коррекцию, Epsilon Corrected) числа степеней свободы и, соответственно, уровня значимости. Если предположение о сферичности не отклоняется (результат теста Моучли статистически не достоверен), то более предпочтительным является одномерный подход, как более чувствительный к действию внутригруппового фактора. Если предположение о сферичности отклоняется (результат теста Моучли статистически достоверен), то можно воспользоваться поправками, предлагаемыми компьютерной программой (эпсилон-коррекция). Но более корректно применить многомерный подход. Многомерный подход (Multivariate approach) свободен от предположения о сферичности, свойственного одномерному подходу. В этом случае используется не F-критерий, а многомерные тесты, наиболее распространенные из которых «След Пиллая» (Pillai's Trace) и « Последовательность ANOVA с повторными измерениями рассмотрим сначала на примере с одним внутригрупповым фактором. Общая изменчивость зависимой переменной (SStotal) в этом случае раскладывается на три составляющие:
где SSF— факторная изменчивость (между уровнями); SSI — межиндивидуальная изменчивость (между средними для каждого объекта — испытуемого); SSer — остаточная изменчивость (ошибка). ПРИМЕР 13.8 Предположим, изучается эффективность воспроизведения предъявленного ряда из 24 не связанных по смыслу слов. Исследователя интересует, будет ли в этом случае проявляться эффект начала и конца ряда. Соответственно, для каждого испытуемого подсчитывалась частота воспроизведения слов из первой, второй и третьей части ряда. Всего в эксперименте участвовало 5 человек. Исходные данные представлены в таблице:
Число объектов (испытуемых): N= 5. Число градаций внутригруппового фактора А: k = 3.
Шаг 1. Подсчитываем общую сумму квадратов.
Шаг 2. Подсчитываем факторную сумму квадратов — между уровнями.
Шаг 3. Подсчитываем межиндивидуальную сумму квадратов. Шаг 4. Подсчитываем остаточную сумму квадратов.
Шаг 5. Определяем числа степеней свободы для сумм квадратов: Ø для общей: dftotal =N – k – 1 = 5 * 3 – 1 = 14; Ø для фактора: dfF = k – 1 = 3 – 1 = 2; Ø для остаточной: dfer = (N – 1)(k – 1) = 8.
Шаг 6. Вычисляем средние квадраты.
Шаг 7. Вычисляем эмпирическое значение F- отношения:
Шаг 8. Определяем р -уровень значимости для F -отношения. Для этого сравниваем эмпирическое значение F -отношения с критическими (табличными) для соответствующих чисел степеней свободы по таблице критических значений F -распределения для проверки направленных альтернатив (приложение 3).
Представим результаты в виде таблицы:
Шаг 9. Принимаем статистические решения и формулируем содержательные выводы. Н0 на уровне
Заметим, что если в последнем примере рассматривать повторные измерения как независимые группы и провести однофакторный ANOVA (с межгрупповым фактором А), то статистически значимое влияние фактора обнаружено не будет — индивидуальные различия между испытуемыми «перекроют» факторный эффект. Двухфакторный ANOVA с повторными измерениями по одному из факторов (с одним внутригрупповым и одним межгрупповым факторами) позволяет проверить три гипотезы: а) о влиянии внутригруппового фактора; б) о влиянии межгруппового фактора; в) о взаимодействии внутригруппового и межгруппового факторов (о зависимости влияния межгруппового фактора от уровней внутригруппового фактора — или наоборот). Этот вариант ANOVA имеет свою специфику, связанную с выделением составных частей общей изменчивости зависимой переменной. Рассмотрим соотношение различных источников изменчивости на примере исследования влияния интонации на запоминание ряда слов.
ПРИМЕР 13.9 В эксперименте участвовало 2 группы испытуемых (фактор А — межгрупповой, два уровня): 1 — все 24 слова ряда предъявлялись c одинаковой интонацией; 2 — серединная восьмерка из того же предъявляемого ряда слов интонационно выделялась. Для каждого испытуемого измерялось по три показателя зависимой переменной — количества воспроизведенных слов (фактор В — внутригрупповой, три градации): из первой, второй и третьей восьмерки предъявленных слов.
Результаты эксперимента представлены в таблице:
Модель двухфакторного ANOVA с межгрупповым и внутригрупповым факторами предполагает разделение общей изменчивости данных на две составляющие: а) изменчивость между объектами или межиндивидуальная изменчивость (SSbs); б) внутригрупповая изменчивость (SSwg). Межиндивидуальная изменчивость состоит из изменчивости между градациями межгруппового фактора (SSA) и изменчивости между испытуемыми внутри этих градаций (SSIWG), или, что то же самое, из изменчивости средних значений для каждого испытуемого относительно общего среднего. или
где n — численность объектов в одной градации межгруппового фактора; k — число градаций межгруппового фактора; l — число градаций внутригруппового фактора. SSIWG — это мера ошибки межгрупповой факторной модели, или фактора В. Внутригрупповая изменчивость — это сумма трех составляющих изменчивости: а) под влиянием внутригруппового фактора В (SSB); б) под влиянием взаимодействия межгруппового и внутригруппового факторов (SSAB); в) остаточной внутригрупповой изменчивости — ошибки модели (SSerB).
SSB вычисляется как сумма квадратов, обусловленная различиями l средних значений (для градаций внутригруппового фактора) относительно общего среднего значения. SSAB вычисляется как сумма квадратов, обусловленная различиями k
ПРИМЕР 13.9 (продолжение) Ш а г 1. Вычисляем SStotal, SSA, SSbs и SSwg:
Шаг 2. Вычисляем SSB и SSAB:
Ш а г 3. Вычисляем остаточную сумму квадратов SSerB:
Ш а г 4. Определяем числа степеней свободы:
Ш а г 5. Вычисляем средние квадраты:
Ш а г 6. Вычислим F -отношения.
Ш а г 7. Определяем уровень значимости и представляем результаты в виде таблицы:
Шаг 8. Принимаем статистические решения и формулируем выводы. Н0 отклоняется только в отношении взаимодействия факторов. Обнаружено взаимодействие интонационного выделения и положения слова в ряду (р < 0, 01): влияние интонационного выделения середины ряда на эффективность воспроизведения слов зависит от того, в какой части ряда находятся слова. График средних значений позволяет дать более детальную интерпретацию взаимодействия: середина ряда при интонационном выделении запоминается лучше краев ряда, а без интонационного выделения — наоборот: слова в начале и конце ряда запоминаются лучше, чем в середине ряда. FACTOR В
|