Индивидуальное домашнее задание № 3

1. Является ли линейным подпространством соответствующего век­торного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:

1.1. Все векторы п - мерного векторного пространства, координаты которых - целые числа?

1.2. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат Ох и Оу?

1.3. Все векторы плоскости, концы которых лежат на одной прямой (начало любого вектора предполагается совпадающим с началом координат)?

1.4. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?

1.5. Все векторы трехмерного пространства, концы которых не лежат на данной прямой?

1.6. Все векторы плоскости, концы которых лежат в первом четверти системы координат?

1.7. Все векторы из , координаты которых удовлетворяют уравнению ?

1.8. Все векторы из , координаты которых удовлетворяют уравнению ?

1.9.Все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных векторов из ?

1.10. Все п - мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой.

1.11. Все п - мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.

1.12. Все п - мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой.

1.13. Множество всех симметричных матриц порядка я относительно обычных операций сложения матриц и умножения их на действительное число?

1.14.Множество всех невырожденных матриц порядка п, если сумма их определена так: . а произведение на число -обычным образом?

1.15. Множество всех кососимметричных матриц, т.е. матриц удовлетворяющих условию относительно обычных операций сложения матриц и умножения их на число?

1.16.Множество кососимметричных матриц, если их сумма и произведение определены так, как в задаче 1.14?

1.17. Множество решений любой системы однородных линейных уравнений с п переменными ранга 2?

1.18. Множество всех четных функций, заданных на [-1, 1], если суммой двух функций a=f (t), b=g (t)считается функция f (t) g (t), а произведение на число определяется обычным образом?

1.19. Множество всех нечетных функций, заданных на [-1, 1], если сумма двух функций и произведение на число определены так же, как в задаче 1.18.

1.20.Множество всех дифференцируемых функций с обычными операциями сложения и умножения их на действительное число, если суммой двух функций считается функция f (t) g (t)?

1.21. Множество диагональных квадратных матриц порядка n.

1.22. Множество функций монотонно возрастающих на [ а, b ].

1.23. Множество функций монотонных на [ a, b ].

1.24. Множество вырожденных квадратных матриц порядка n.

1.25.Множество функций на [ a, b ] таких, что f (a)=0.

2. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений однородной системы, основная матрица которой имеет вид:

2.1. 2.2. 2.3.

;

2.4. 2.5. 2.6.

2.7. 2.8. 2.9.

2.10. 2.11. 2.12.

2.13. 2.14. 2.15.

2.16. 2.17. 2.18.

2.19. 2.20. 2.21.

2.22. 2.23. 2.24.

2.25.

.

3.Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25.

4. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования? Если являются, то записать матрицу преобразования.

4.1. ;

;

.

4.2. ;

;

.

4.3. ;

;

.

4.4. ;

;

.

4.5. ;

;

.

4.6. ;

;

.

4.7. ;

;

.

4.8. ;

;

.

4.9. ;

;

.

4.10. ;

;

.

4.11. ;

;

.

4.12. ;

;

.

4.13. ;

;

.

4.14. ;

;

.

4.15. ;

;

.

4.16. ;

;

.

4.17. ;

;

.

4.18. ;

;

.

4.19. ;

;

.

4.20. ;

;

.

4.21. ;

;

.

4.22. ;

;

.

4.23. ;

;

.

4.24. ;

;

.

4.25. ;

;

.

5. Пусть , , . Найти

5.1. ; 5.2. ; 5.3. ; 5.4. ; 5.5. ;

5.6. ; 5.7. ; 5.8. ; 5.9. ; 5.10. ;

5.11. ; 5.12. ; 5.13. ; 5.14. ; 5.15. ;

5.16. ; 5.17. ; 5.18. ; 5.19. ; 5.20. ;

5.21. ; 5.22. ; 5.23. ; 5.24. ; 5.25. .

6. Найти матрицу линейного оператора в базисе , где , , , если она задана в базисе :

7. Найти матрицу, область значений и ядро линейного оператора А. Определить ранг и дефект:

7.1. .

7.2.

7.3.

7.4. , где и - заданные векторы в .

7.5. , где - заданный вектор в .

7.6. - многочлены степени .

7.7. - многочлены степени , А - оператор дифференцирования.

7.8. - многочлены степени .

7.9. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

7.10. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

7.11. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

7.12. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

7.13. А - зеркальное отражение относительно плоскости

7.14. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

7.15. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

7.16. А - проектирование на плоскость .

7.17. А - проектирование на плоскость .

7.18. А - проектирование на плоскость .

7.19.А - проектирование на плоскость .

7.20.А - проектирование на плоскость .

7.21.

7.22.А – зеркальное отражение относительно плоскости

7.23.А – зеркальное отражение относительно плоскости

7.24. А – проектирование на плоскость

7.25. А – проектирование на плоскость

8. Найти собственные векторы линейного оператора. Привести матрицу линейного оператора к нормальному виду (форме Жордана).

8.1. ; 8.2. ; 8.3. ;

8.4. ; 8.5. ; 8.6. ;

8.7. ; 8.8. ; 8.9. ;

8.10. ; 8.11. ; 8.12. ;

8.13. ; 8.14. ; 8.15. ;

8.16. ; 8.17. ; 8.18. ;

8.19. ; 8.20. ; 8.21. ;

8.22. ; 8.23. ; 8.24. ;

8.25. .

5.4. Примерные варианты 20 - минутной самостоятельной работы по теме " Линейные преобразования"

Вариант № 1

1. Матрица является матрицей перехода от базиса В к базису С. Найти координаты вектора в В, если его координаты в С равны (-1, 2).

2. Дать определение инвариантного подпространства линейного оператора .

3. Матрица оператора имеет вид: . Указать инвариантные подпространства этого оператора.

4. Записать характеристическое уравнение линейного оператора с матрицей . Найти его корни.

Вариант № 2

1. Дать определение линейного отображения .

2. Дать определение матрицы линейного оператора.

3. Проверить, является ли вектор собственным вектором линейного оператора с матрицей

.

4. Приводится ли матрица к диагональному виду ?

Примерные варианты контрольной работы по линейной алгебре

Вариант № 1

1. Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму следующей матрицы

3.Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Вариант №2

1. Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму следующей матрицы

3.Привести к каноническому виду квадратичную форму .

6. ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ " АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

I семестр

1. Понятие вектора в геометрии. Линейные операции над векторами и их свойства.

Понятие линейного векторного пространства. Примеры линейных векторных пространств. Пространство .

2. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы. Элементарные преобразования системы. Равносильные системы.

3. Правило Жордана-Гаусса исключения переменной из всех уравнений системы кроме одного. Приведение системы к единичному базису. Решение системы линейных уравнений.

4. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.

5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. Примеры.

6. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Линейная зависимость векторов в .

7. Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы векторов. Координаты вектора в данном базисе.

8. Ранг системы векторов, его свойства. Размерность векторного пространства.

9. Понятие ранга матрицы. Решение задач по отысканию ранга матрицы.

10. Операции над матрицами, их свойства. Размерность пространства однотипных матриц размера .

11. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.

12. Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).

13. Свойства определителей, методы их вычисления.

14. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений ее элементов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

15. Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения в геометрии и физике.

16. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения.

17. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения. Двойное векторное произведение.

18. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Геометрический смысл координат точки в прямоугольной декартовой системе координат.

19. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты.

20. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические уравнения по точке и направляющему вектору, по двум точкам, канонические уравнения.

21. Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

22. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору в прямоугольной декартовой системе координат.

23. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямойотносительно осей координат.

24. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

25. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, трем точкам, общее уравнение плоскости.

26. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая как пересечение двух плоскостей.

27. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

28. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

29. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Угол между плоскостями.

30. Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.

31. Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы.

32. Парабола, ее каноническое уравнение и свойства.

33. Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоиды, параболоид.

34. Канонические уравнения поверхности второго порядка и их исследование методом сечений.

35. Конические и цилиндрические поверхности.

II семестр

36. Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма. Примеры. Теорема о размерности суммы двух подпространств.

37. Прямая сумма подпространств. Линейная оболочка системы векторов.

38. Понятие базиса векторного пространства и координат вектора. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

39. Понятие линейного оператора. Примеры линейных операторов. Простейшие свойства. Матрица линейного оператора.

40. Арифметические операции над линейными операторами и их свойства.

41. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

42. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект. Теорема о взаимосвязи между размерностями подпространств и .

43. Инвариантные подпространства линейного оператора. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных относительно некоторого оператора подпространств.

44. Понятие собственного вектора линейного оператора. Характеристический многочлен и собственные значения линейного оператора.

45. Свойства собственных векторов линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора (понятие).

46. Понятие евклидова пространства над полем вещественных чисел (комплексных чисел). Примеры евклидовых пространств. Длина векторов угол между двумя векторами.

47. Ортогональный базис евклидова пространства. Теорема о линейной независимости попарно ортогональных векторов данной системы. Процесс ортогонализации построения ортогональных векторов.

48. Ортогональные подпространства евклидова пространства. Необходимое и достаточное условие ортогональности 2-х подпространств. Теорема о пересечении двух взаимно ортогональных подпространств.

49. Ортогональное дополнение подпространства , его построение. Ортогональная проекция вектора на подпространство.

50. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы, ее изменение при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы.

51. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Необходимое и достаточное условие симметричности (кососимметричности). Теорема о представлении любой билинейной формы в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных форм.

52. Квадратичная форма, ее матрица. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (теорема).

53. Каноническая форма квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно- и отрицательно-определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

54. Билинейные и квадратичные формы в комплексном евклидовом пространстве. Изменение матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Эрмитовы билинейные и квадратичные формы.

55. Понятие оператора, сопряженного к данному. Матрица сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения.

56. Самосопряженный оператор, его матрица, свойства.

57. Каноническая форма матрицы самосопряженного оператора, в евклидовом пространстве.

58. Унитарный оператор, его свойства. Канонический вид матрицы.

59. Ортогональный оператор, его свойства и матрица.

60. Ортогональные операторы, действующие в одномерном и двумерном евклидовых пространствах

.