Задача №1. Решить задачу №1 по данным варианта из табл 1.

Решить задачу №1 по данным варианта из табл 1.

1.1. Нанести в координатах ХY точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл.1. в табл. 3.

Таблица 3

На рис. 1 представлено корреляционное поле. Как видно, оно должно хорошо аппроксимироваться прямой линией. Зависимость между Х и Y тесная и прямая.

у

х

Рис. 1

1.2. Найти методом наименьших квадратов уравнение регрессии Y по Х в линейной форме:

=b0+ b1x.

(1)

Решение. Расчетные формулы для неизвестных параметров регрессии:

(2)

На основе табл. 3 рассчитаем необходимые суммы, входящие в формулу (2).

Таблица 4

xi	yi	x2	xiyi	(xi- )2	xi	ei2=( xi-yi)2
				5, 90	1, 97	0, 00
				5, 90	1, 97	1, 06
				2, 04	3, 51	0, 22
				0, 18	5, 05	0, 00
				0, 32	6, 59	2, 53
				2, 46	8, 13	1, 28
				20, 88	12, 75	1, 56
				37, 68		6, 65

(3)

Искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:

b1= (27, 86-3, 43× 5, 71)/(17, 14-3, 432) =8, 27/5, 38=1, 54 b0=5, 71-1, 54× 3, 43=0, 43 =0, 43+1, 54x.

1.3. Построить линию регрессии на координатной плоскости XY.

Решение. Искомую линию проще всего построить по двум точкам (см. рис. 1), например (0; 0, 43) и (8, 00; 12, 75).

1.4. Показать графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку (, ).

Решение. Из графика на рис.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” ( =3, 43; =5, 71). Проверим это аналитически: =0, 43+1, 54× 3, 43 = 5, 71, что и требовалось доказать.

1.5. На сколько вырастет средний объем продаж при увеличении х на 1.

Решение. При увеличении торговой площади на 1 (100 м²) в среднем объем продаж увеличится на b₁= 1, 54 (т.е. на 15400 руб./день).

1.6. Имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии.

Решение. Свободный член b₀=0, 43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади положительного объема продаж быть не может.

1.7. Вычислить коэффициент корреляции между переменными X и Y.

Решение. Используем формулу:

(4)

Здесь известно все, кроме

Окончательно

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о высокой (почти функциональной) зависимости объема продаж от размера торговой площади.

1.8. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина " СИ" с торговой площадью х=11 (напомним, что это 1100 м²).

Решение. Прогнозное значение из рис.1 и из формулы совпадают:

=0, 43+1, 54× 11=17, 37 (173700 руб./день)

1.9, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж.

Решение. Оценка значения условного МО М_х=11(Y) равна 17, 37. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _х=11, нужно оценить дисперсию ее оценки .

Для этого определим дисперсию возмущений (см. табл. 4, графы 4-6):

Искомая дисперсия

Для статистики Стьюдента число степеней свободы k = n – 2 = 7 – 2 = 5. По табл. П2 находим значение t_{0, 95; 5}=2, 57 критерия Стьюдента. Искомый 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина " СИ":

Нижнее значение интервала: 17, 37-2, 57× 1, 48=13, 57.

Верхнее значение интервала: 17, 37+2, 57× 1, 48=21, 37.

Окончательно интервал имеет вид:

13, 57 £ M_x(Y) £ 17, 37.

1.9, б). Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж _xo=11.

Решение. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _хo=11, нужно оценить ее дисперсию:

Нижнее значение интервала: 17, 37-2, 57× 1, 88=12, 54.

Верхнее значение интервала: 17, 37+2, 57× 1, 88=22, 20.

Окончательно интервал имеет вид:

12, 54 £ £ 22, 20.

Как и следует из теории, этот интервал больше предыдущего и большой по величине. Коэффициент осцилляции для него:

К_о=(R/ )100%= ((22, 2-12, 54)/17, 37)100%=55, 6%.

1.10, а) Найти с надежностью 0, 95 интервальные оценки коэффициента регрессии b₁.

Решение. Общая формула для расчета интервала:

b₁-D £ b₁ £ b₁+D,

где

Нижнее значение интервала: 1, 54-0, 48=1, 06.

Верхнее значение интервала: 1, 54+0, 48=2, 02.

Окончательно интервал имеет вид:

1, 06 £ b₁ £ 2, 02.

1.10, б) Найти с надежностью 0, 95 интервальные оценки дисперсии возмущений s².

Решение. Найдем по табл.П3 (критерий Пирсона) табличное значение статистики хи-квадрат:

Формула для доверительного интервала:

1.11, а) Оценить на уровне a=0, 05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Фишера.

Решение. Вычислим суммы квадратов.

Общая сумма:

Q=å (y_i- )²=13, 77+7, 35+2, 93+0, 51+0, 51+1, 67+68, 73= 95, 47.

Регрессионная сумма:

Q_R=å ( _i- )²=13, 99+13, 99+4, 84+0, 44+0, 78+8, 56+49, 56=92, 16.

Остаточная сумма: Q_e=å ( _i-у)²=6, 65 (см. табл. 4).

Значение статистики Фишера:

Уравнение регрессии значимо, если F > F_{a, k1, k2}, где степени свободы k₁=m-1=2-1=1, k₂=n-m=7-2=5. По табл. П4 находим критическое значение F_{0, 05; 1; 5}=6, 61. Так как 69, 66 > 6, 61, то уравнение значимо: коэффициент регрессии b₁ =1, 54 значимо отличается от нуля.

1.11, б) Оценить на уровне a=0, 05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Стьюдента.

Решение. Уравнение парной регрессии значимо, если t> t_крит. Значение статистики Стьюдента:

По табл. П2 находим t_крит.=t_{0, 95; 7-2=5}=2, 57. Так как 8, 22 > 2, 57, то гипотезу Н_о(Н_о : β ₁=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н₁: уравнение значимо.

1.12. Определить коэффициент детерминации R² и раскрыть его смысл: на сколько процентов в среднем объем продаж зависит от размера торговой площади.

Решение. Используем формулу: R²= Q_R/Q = 92, 16 / 95, 47 = 0, 97. R² показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Ответ: эта доля составляет 97%.