Задача №2

Решить задачу №2 по данным варианта из табл. 1 и 2.

2.1) Нанести в координатах х₂у точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл. 1 и 2. Из рис. 2 видно, что прямая линия хорошо аппроксимирует связь между у и х₂. Эта связь прямая и очень тесная.

у
15
							х2

Рис. 2

2.2. Записать для своего варианта матрицу Х значений объясняющих переменных (матрицу плана).

Решение. См.среднюю матрицу в п. 2.4.

2.3. Записать транспонированную матрицу плана .

Решение. См. левую матрицу в п. 2.4.

2.4. Найти произведение матриц .

Решение.

2.5. Найти обратную матрицу ()^-1.

Решение. Для краткости введем обозначение: А= . требуется найти обратную матрицу А^-1. Используем формулу:

где - определитель матрицы А,

– транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.

=7× 120× 79+24× 96× 21+21× 96× 24-21× 120× 21-96× 96× 7-79× 24× 24=192.

Находим алгебраические дополнения:

Обратная матрица:

Проверка. Если расчеты верны, то должно выполниться равенство:

А А^-1 = Е.

Для повышения точности множитель 1/192 введем отдельно.

Как видно, равенство выполнено, значит расчет обратной матрицы выполнен верно.

2.6. Найти произведение матриц .

Решение.

2.7. Найти уравнение регрессии Y по Х₁ и Х₂ в форме =b₀+ b₁ х₁ + + b₂х₂ методом наименьших квадратов путем умножения матрицы (.)^-1 на матрицу , т.е. рассчитать коэффициенты регрессии по формуле b=()^-1 .

Решение.

Итак, ответ: b₀ = -0, 88; b₁ = 0, 50; b₂ = 1, 63. Уравнение множественной регрессии имеет вид: = -0, 88 + 0, 50x₁ + 1, 63x₂.

2.8. Объяснить смысл изменения значения коэффициента регрессии b₁.

Решение. В задаче №1 значение b₁=1, 54, а теперь его значение снизилось до b₁=0, 50. Это связано с тем, что на объем продаж помимо торговой площади теперь влияет учитываемая площадь паркинга.

2.9. Рассчитать значения коэффициентов эластичности для обоих факторов и сравнить влияние каждого из них на средний объем продаж.

Решение. Коэффициент эластичности в общем случае есть функция объясняющей переменной, например:

Если то при увеличении х₁ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0, 30%. Аналогично при увеличении х₂ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0, 86%.

2.10. Оценить аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина " СИ" с торговой площадью х₁=11 (1100 м²) и паркинговой площадью х₂ = 8 (80 автомашин).

Решение. Объем продаж рассчитаем по уравнению регрессии:

= -0, 88 + 0, 50 × 11 + 1, 63 × 8 = 17, 66.

2.11, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина " СИ".

Решение. По условию нужно оценить значение М_х(Y), где вектор переменных . Выборочной оценкой условного МO М_х(Y) является значение регрессии (11, 8) = 17, 66. Для построения доверительного интервала для М_х(Y) нужно знать дисперсию оценки и дисперсию возмущений s²:

Для удобства вычислений составим табл. 5.

Таблица 5

i	xi1	xi2	yi		ei
				1, 25	0, 75	0, 56
				2, 88	0, 12	0, 02
				3.38	0, 62	0, 39
				5.51	-0, 51	0, 26
				6, 01	-1, 01	1, 02
				8, 14	-1, 14	1, 30
				12, 90	1, 10	1, 21
∑				40, 07	-0, 07	4, 76

На основе табличных данных:

По табл. П2 находим критическое значение статистики Стьюдента t_{0, 95; 7-2-1=5} = 2, 78. Полуинтервал D = t_{0, 95; 5∙} = 2, 78 × 1, 46 = 4, 05.

Нижняя граница интервала: _min = _Xo - D = 17, 66 - 4, 05 = 13, 61.

Верхняя граница интервала: _mах = _Xo + D = 17, 66 + 4, 05 = 21, 71. Окончательно доверительный интервал для среднего прогнозного значения _Xo: 13, 61 £ М_Хo(Y) £ 21, 71. Интервал большой, что объясняется слишком короткой выборкой.

2.11, б) Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж магазина " СИ" .

Решение. Интервал рассчитаем по выражению:

где

Полуинтервал D = 2, 78 × 1, 82 = 5, 06. Нижние и верхние границы интервала: _min = 17, 66 - 5, 06 = 12, 60 и _max = 17, 66 + 5, 06 = 22, 72. Окончательно интервал имеет вид: 12, 60 £ £ 22, 72. Как и следовало ожидать, данный индивидуальный интервал больше предыдущего среднего.

2.12. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

Решение. Стандартная ошибка рассчитывается по формуле:

где выражение под корнем есть диагональный элемент матрицы ^-1.

Отсюда: s_b1 = 1, 09 = 1, 28; s_b2 =1, 09 = 0, 83.

Так как t = ç b₁ç / s_b1 = 0, 50/1, 28 = 0, 39 < t_{0, 95; 4} = 2, 78, то коэффициент b₁незначим (незначимо отличается от нуля).

Так как t = ç b₂ç / s_b2 = 1, 63/0, 83 = 1, 96 < t_{0, 95; 4} = 2, 78, то и коэффициент b₂ незначим на 5%-ном уровне.

2.13. Найти с надежностью 0, 95 интервальные оценки коэффициентов регрессии b₁ и b₂ и дисперсии s².

Решение. Интервалы коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле: b_j + t_{1-a, n-p-1}s_bj £ b_j £ b_j + t_{1-a, n-p-1}s_bj.

Поскольку оба коэффициента регрессии незначимы, то не имеет смысла строить для них доверительные интервалы.

2.14. Определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость уравнения регрессии на уровне a=0, 05.

Решение. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

;

Уравнение регрессии значимо, если (критерий Фишера):

F = R² (n-p-1)/(1- R²) p > F_{a; k1; k2}.

Отсюда F = 0, 96(7-2-1)/(1-0, 962)2 = 24, 62 > F_{0, 05; 2; 4}.

Вывод: уравнение значимо.

2.15. Определить, существенно ли увеличилось значение коэффициента детерминации при введении в регрессию второй объясняющей переменной.

Решение. Значения коэффициентов детерминации для регрессий с одной и с двумя объясняющими переменными соответственно равны: R² = 0, 97 и R² = 0, 96. Увеличения значения не произошло. Введение второй переменной не увеличило адекватность модели.