Параметры распределения случайных величин

Значение, которое принимает случайная величина, зависит от результата испытания. Гораздо более существенными характеристиками случайной величины, раскрывающими её свойства, являются параметры распределения. Параметры распределения не зависят от результатов отдельных испытаний и являются одной из реализаций закона больших чисел.

Положение распределения характеризуется математическим ожиданием случайной величины. Математическое ожидание является своего рода центром распределения.

Математическим ожиданием случайной величины Х называется среднее значение случайной величины в бесконечной серии испытаний (обозначение М (Х)).

Математическое ожидание является абстракцией понятия среднего значения случайной величины.

Формулы для вычисления математического ожидания:

– для дискретных случайных величин;

– для непрерывных случайных величин.

Свойства математического ожидания:

1. – математическое ожидание постоянной величины равно этой величине;

2. – постоянную величину можно выносить из-под знака математического ожидания;

3. – математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий;

4. – математическое ожидание независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Количественной характеристикой степени рассеяния значений случайной величины служит дисперсия случайной величины. Она показывает степень разброса значений случайной величины относительно её центра распределения.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

Формулы для вычисления дисперсии:

– для дискретных случайных величин;

– для непрерывных случайных величин.

Дисперсию случайной величины удобней вычислять, используя не определение или указанные формулы, а одно из свойств дисперсии.

Свойства дисперсии:

1. – дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. – постоянную величину можно вынести из-под знака дисперсии, возведя эту величину в квадрат;

3. – дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата математического ожидания этой величины;

4. – дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Существенным недостатком дисперсии (для практического использования) является следующий. Математическое ожидание случайной величины измеряется в тех же единицах, что и случайная величина, а дисперсия в соответствующих квадратных единицах. Для исключения этого недостатка в качестве характеристики рассеяния случайной величины вместо дисперсии используется среднеквадратичное (стандартное) отклонение.

Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии этой случайной величины: .