Интегрирование разложением.

Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла.

Если то

1. Найти интеграл

2. Найти интеграл .

Раскрывая скобки и пользуясь формулой (5) для случая, когда m – отрицательное число, находим

3. Найти интеграл

Для вычисления интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе на знаменатель. Если это выполнить, получим:

4. Найти интеграл

Прибавляя и вычитая единицу из , получаем:

5. Найти интеграл

Так как то

Используя метод разложения, найти интегралы:

10.2. . 10.3. . 10.4. .

10.5. . 10.6. . 10.7. .

10.8. . 10.9. . 10.10. .

10.11. . 1 0.12. . 10.13. .

10.14. . 10.15. . 10.16. .

10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.

Если (16)

то (17)

где - любая дифференцируемая функция от х. Формула (17) получается из формулы (16) путем формальной замены х на u, она дает возможность значительно расширить таблицу простейших интегралов. На ее основании получаем:

(5)' (11)'

(6)' (12)'

(7)' (13)'

(8)' (14)'

(9)' (15)'

(10)'

При пользовании формулами (5') — (15') необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:

1. , где b – постоянная величина. 5.

2. , где постоянная . 6.

3. 7.

4.

В общем случае

1. Найти неопределенный интеграл

На основании преобразования 3 дифференциала имеем

Применяя формулу для случая, когда находим

2. Найти интеграл

3. Найти интеграл

10.4. Метод подстановки.

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основан на формуле , где – дифференцируемая функция переменной t.

1. Найти интеграл .

Положим , тогда 2xdx = dt, . Подставляя полученные значения в подынтегральное выражение, получим

.

Этот пример можно решить и по-другому (см §2):

.

2. Найти интеграл .

Положим , откуда , ,

Следовательно,

.

3. Найти интеграл .

Положим , откуда ,

Таким образом, .

Тот же результат можно получить непосредственно (см §2):

.

4. Найти интеграл подстановкой .

Из подстановки следует, что ; ; , а поэтому подынтегральное выражение

; .

Подставляя сюда , окончательно получим

.

Следует иметь в виду, что за счет тождественного преобразования ответа, а также в связи с возможностью представить произвольную постоянную интегрирования в разных видах ответы при вычислении неопределенных интегралов могут получаться различные.

Используя указанные замены переменной, найти интегралы:

10.21. . 10.22. . 10.23 . 10.24. . 10.25. . 10.26. .

10.27. .

Найти интегралы:

10.28. 10.29. 10.30.

10.31 10.32. 10.33.

10.34. 10.35. 10.36

10.37. 10.38. 10.39

10.40. 10.41. 10.42.

10.43. 10.44. 10.45.

10.46. 10.47. 10.48.

10.49. 10.50. 10.51.

10.52. 10.53. 10.54.

10.55. 10.56. 10.57.

10.58. 10.59. 10.60.

10.61. 10.62. 10.63.

10.64. 10.65. 10.66.

10.67. 10.68. 10.69.

10.70. 10.71. 10.72.

10.5. Метод интегрирования по частям.

Если , -дифференцируемые функции от x, то из формулы для дифференциала произведения двух функций

получается формула интегрирования по частям

. (18)

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv – оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (18) применяется несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.

1. Найти .

Обозначим: x = u, sin x dx = dv.

Для применения формулы (18) необходимо знать еще v и du. Дифференцируя равенство x = u, получаем dx = du. Интегрируя равенство , определяем .

Подставляя значения u, v, du, dv в формулу (18) находим

.

2. Найти .

Полагая , , получаем , . Следовательно,

. (А)

Полученный интеграл снова находится интегрированием по частям (пример 1). Его можно найти и не вводя явно u и v. Имеем

.

Подставляя это выражение для интеграла в формулу (А), находим

где .

3. Найти .

Положим , , отсюда , .

Применяя формулу (18), получаем

. (В)

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям, не вводя явно u и v. Имеем

.

Подставляя найденное выражение в формулу (В), находим

,

откуда .

Следовательно,

Найти интегралы:

10.75. 10.76. 10.77. 10.78.

10.79. 10.80. 10.81. 10.82.

10.83. 10.84. 10.85. 10.86.

10.87. 10.88 10.89 10.90.

10.91. 10.92. 10.93. 10.94.

10.95. 10.96. 10.97. 10.98.

10.99. 10.100. 10.101. 10.102.

10.103. 10.104.

10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен.

Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

(19) (20)

где .

Интеграл (21)

сводится к интегралу (19) или (20) и интегралу

(22)

Интеграл сводится к одному из интегралов

(23) (24)

Интеграл (25)

сводится к одному из двух интегралов:

(26)

(27)

1. Найти интеграл

Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на основании формулы (19) для случая когда , получаем

2. Найти интеграл

Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на основании формулы (23), получаем

3. Найти интеграл

Это интеграл вида (25). Преобразуя квадратный трехчлен и применяя формулу (27), получаем

Найти интегралы:

10.105. 10.106. 10.107.

10.108. 10.109. 10.110.

10.111. . 10.112. 10.113.

10.114. 10.115. 10.116.

10.7. Интегрирование рациональных функций.

Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится непосредственно:

Интегрирование дробной рациональной функции сводится к интегрированию правильной рациональной дроби

, (28)

Где и -многочлены, причем степень ниже степени .

Если же степень числителя равна степени знаменателя или больше ее, то рациональная дробь называется неправильной.

Дроби и - неправильные: в первой степень числителя равна степени знаменателя, а во второй степень числителя больше степени знаменателя.

Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.

Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.

Если многочлен имеет действительные корни соответственно кратности комплексные попарно сопряженные корни соответственно кратности , т.е.

то справедливо следующее разложение дроби (28) на простейшие дроби:

(29)

Постоянные находятся методом неопределенных коэффициентов.

После разложения на простейшие слагаемые интегрирование правильной рациональной дроби сводится к нахождению интегралов вида:

(30) (31)

Интеграл (30) находится по формуле , если или по формуле (6'), если .

Интеграл (31) при m = 1 является интегралом вида (21), при m > 1 применяется метод понижения.

3амечание 1. Если многочлен имеет действительный корень , кратности , то по формуле (29) ему соответствует простейших слагаемых , каждое из которых равно дроби, числитель которой - постоянная, а знаменатель - соответствующая степень разности , причем берутся все степени от 1 до .

Замечание 2. Если многочлен имеет комплексные попарно сопряженные корни кратности , то в разложении (29) им соответствует элементарных дробей вида

Числитель каждой из которых есть линейная функция (не постоянная как в предыдущем случае), а знаменатель - степень соответствующего трехчлена, т.е. трехчлена

причем берутся все степени от 1 до .

Замечание 3. Коэффициенты разложения (29) можно получить полагая в тождестве (29) или ему равносильном х равным надлежащим образом выбранным числам (метод произвольных значений).

1. Найти интеграл

Разложим сначала правильную дробь

на простейшие дроби, для чего нужно найти корни его знаменателя, т.е. корни уравнения

Один корень находится методом подбора, это .

Так как

то

поэтому получаем также

Итак, многочлен имеет действительные простые корни

В соответствии с формулой (29) ищем разложение данной дроби на простейшие

(А)

(Слагаемых вида разложение не содержит, так как комплексных корней нет). Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, получаем

Сравниваем числители

(В)

Раскрывая скобки в правой части равенства (В) и группируя члены, находим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства, получим три уравнения для определения неизвестных коэффициентов А, В, С:

Решая эту систему, находим: А = 2, В = 1, С = -3.

Следовательно,

и поэтому

Таким образом

Замечание. Коэффициенты разложения (А) можно было бы найти, полагая в равенстве (В) x = 1, x = 2, x = 3. Действительно при x = 1 имеем 9-5 = А (-1)(-2), 4 = 2 А, откуда А =2. Аналогично В = 1, С = -3.

2. Найти интеграл

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой имеет простой корень и кратный корень (кратности 2).

В соответствии с формулой (29) разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид

Откуда

Полагая x = 1, получим , откуда

При находим или , откуда .

Полагая , получаем или . Принимая во внимание значения А и С, из последнего уравнения находим

Следовательно,

поэтому

Итак,

Найти интегралы:

10.117. 10.118. 10.119.

10.120. 10.121. 10.122.

10.123. 10.124. 10.125.

10.126. 10.127. 10.128.

10.129. 10.130. 10.131.

10.132. 10.133. 10.134.

10.135. 10.136. 10.137.

10.138.

10.139.

10.8. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида , , находятся с помощью тригонометрических формул:

2. Интегралы вида , где n и m – четные числа, находятся с помощью формул:

.

Если хотя бы одно из чисел n и m – нечетное, то интеграл находим непосредственно, отделяя от нечетной степени один множитель и вводя новую переменную. В частности, если m= 2 k+ 1, то

3. Интегралы вида где R – рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки , при этом .

Если то целесообразно применить подстановку , при этом

1. Найти интеграл

Так как то

2. Найти интеграл .

Запишем, что Тогда

(А)

Применяя подстановку , тогда , получим

Возвращаясь к старой переменной, получим окончательно

Собственно говоря, для вычисления интеграла (А) никакой подстановки не требуется, так как формула

позволяет сразу написать ответ. Из (А) следует, что

3. Найти

Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Поэтому

Возвращаясь к старой переменной: заменяя на

4. Найти интеграл

Подынтегральная функция не меняется от замены на на , т.е.

Применяя подстановку . Так как при этом

то

Следовательно,

Найти интегралы:

10.146. 10.147. 10.148.

10.149. 10.150. 10.151.

10.152. 10.153. 10.154.

10.155. 10.156. 10.157.

10.158. 10.159. 10.160.

10.9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

1. Интегралы вида

(32)

где R – рациональная функция и - целые числа, находятся с помощью подстановки , где n – наименьшее общее кратное чисел .

2. Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл

,

где m, n, p –рациональные числа, a и b – постоянные, отличные от нуля; сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

1) когда p – целое число, - разложением на слагаемые по формулам бинома Ньютона;

2) когда – целое число, - подстановкой , где s - знаменатель дроби p;

3) когда - целое число, - подстановкой .

1. Найти интеграл

Это интеграл типа (32), для которого (т.е. ), , , , общий знаменатель всех дробей равен 6, поэтому применим подстановку (она дает возможность освободиться от всех радикалов).

Поскольку , то

Следовательно,

2. Найти .

Перепишем интеграл в виде

получим

Составим выражение - целое число.

Следовательно, здесь мы имеем второй случай интегрируемости. Подстановка запишется так,

Поэтому

Возвращаясь к старой переменной, при помощи равенства получим

3. Найти интеграл

Найти интеграл в виде , заключаем, что . Так как – (целое число), то имеем третий случай интегрируемости.

Подстановка где s – знаменатель числа p, в данном случае примет вид , откуда

, ,

Следовательно,

Найти интегралы:

10.133. 10.134. 10.135.

10.136. 10.137. 10.138.

10.139. 10.140. 10.141.