Краткая теория. 1.Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений x1, x2 из этого промежутка выполняется неравенство

1. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений x₁, x₂ из этого промежутка выполняется неравенство

.

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

2. Если вторая производная f" (x) функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

3. Если x₀ – точка перегиба функции и f" (x₀) существует, то f" (x₀) = 0.

4. Если вторая производная f" (x) меняет знак при переходе через точку x₀, то точка x₀ является точкой перегиба функции .

5. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1) найти вторую производную функции f" (x);

2) найти точки, в которых вторая производная f" (x₀) = 0 или не существует;

3) исследовать знак второй производной функции слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;

4) найти значения функции в точках перегиба.

8.80. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции y = 5х⁴-3х⁵.

Решение. y′ = 20х³ - 15х⁴, y" = 60х² - 60х³ = 60х²(1-x). Вторая производная обращается в нуль в тех же точках х₁= 0, х₂ = 1, что и в предыдущем примере. Однако, на этот раз знаки второй производной следующие (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Таким образом, функция выпукла вниз на всем интервале (- ∞; 1), и точка х = 0 не является точкой перегиба. Не­трудно увидеть, что это точка экстремума (максимума) функции. Точка х = 1 является точкой перегиба. На интервале (1; + ∞) функ­ция является выпуклой вниз.

Рис. 8.6

8.81. Найти точки перегиба у = sin х + 2соs х.

Решение. Имеем у' = соs х-2sin x, y" = -sin x – 2cos x. Вторая производная обра­щается в нуль при выполнении равенства sin x = - 2 cos x, или tg x = - 2, т.е. в точках

x = - arctg 2 + π n. Рис 8.6 показывает, что при – arctg 2 + 2 π n < x < π – arctg 2 + 2π n ƒ " (х)< 0 и функция является выпуклой вниз, а при π – arctg 2 + 2π n < x < 2π - arctg 2 + 2π n ƒ " (х) > 0 и функция является выпуклой вверх. Точки х = - arctg 2 + π n – точки перегиба.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:

8.82. y = x³ (x² - 5). 8.83. y = . 8.84. y =

8.85. y = . 8.86. y = (x + 1)arctg x. 8.87. y = x³ e _.

8.88. y = . 8.89. y = x²e . 8.90. y = x³lnx + 1.

8.91. y = . 8.92. y = . 8.93. y = .

8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков