Краткая теория. 1. Теорема( правило Лопиталя).Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных ( конечному или

1. Теорема(правило Лопиталя). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

= . (8.2)

Таким образом, правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

2. Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида [0·∞ ]. Для этого произведение f (x) g (x) следует записать в виде или и получить неопределенность вида или .

3. Если имеется неопределенность вида [0⁰] или [∞ ⁰], при вычислении предела функции f(x)^g(x), то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0·∞ ]. При этом используется соотношение (полученное на основе свойств логарифмов и непрерывности показательной функции):

.

8.9. Найти .

Решение. Так как в данном случае имеется неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя (8.2):

= = = .

8.10. Найти

Решение. Имеет место неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя (8.2), получаем: Как видим, неопределенность вида остается. Применим правило Лопиталя еще раз.

8.12. Найти предел .

Решение. Имеем неопределенность вида [∞ ⁰]. найдем

.

По формуле (8.3) .

8.13. Найти предел

Решение. Так как при , то . Таким образом, имеем неопределенность вида .

Сведем ее к неопределенности вида и применим правило Лопиталя (8.2):

= .

8.14. Найти предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Преобразуем искомый предел и найдем отдельно предел , используя правило Лопиталя (8.2):

.

Таким образом, .

Найти пределы, используя правило Лопиталя:

8.15. . 8.16. . 8.17. .

8.18. . 8.19. . 8.20.

8.21. . 8.22. . 8.23. .

8.24. . 8.25. . 8.26. .

8.27. . 8.28. . 8.29. .

8.30. . 8.31. . 8.32. .

8.33. . 8.34. .

8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции