![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Краткая теория. 1. Если производная функции y = f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом
1. Если производная функции y = f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке. 2. Точка x 0 называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует интервал, содержащий точку x 0, такой, что для всех x из этого интервала имеет место неравенство f(x 0 ) ≥ f(x), (f(x 0 ) ≤ f(x)). Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. 3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f ′ (x)=0), либо не существует. 4. Первое достаточное условие экстремума: если в точке x 0 функция y = f(x) непрерывна, а производная f ′ (x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума, если с «–» на «+». Если при переходе через точку x0 производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет. 5. Второе достаточное условие экстремума: если в точке x0 6. Схема исследования функции 1) найти производную 2) найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует; 3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции; 4) найти экстремальные значения функции. При исследовании функции на экстремум с помощью 2-го достаточного условия п. 1), 2), 4) сохраняются, а в п. 3) необходимо найти вторую производную 7. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции 8. Если дифференцируемая на интервале (a, b) функция 8.35. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции Решение. В соответствии со схемой исследования (п. 6) найдем Рис. 8.1 На интервалах Рис. 8.2
Замечание. Установить существование экстремума в критических точках График данной функции схематично показан на рисунке 8.2. 8.36. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции Решение. Производная существует во всех точках, в которых существует и сама функция, т.е. при x > 0. Точки, в которых производная обращается в нуль, задаются равенствами ln x =0, ln x-1 = 0, откуда x1 =1, x2 = е – критические точки. Знаки производной указаны на рис. 8.3.
Рис.8.3 Таким образом, функция монотонно возрастает на промежутках (0; 1) и (е; + 8.37. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции Решение. 8.38. Найти наибольшее значение (глобальный максимум) функции Решение. Найдем 8.40. Забором длиной 24 метра требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры палисадника. Решение. Пусть длины сторон палисадника x, y. Тогда 2x + y = 24, т.е. y = 24-2x. Площадь палисадника S = xy = x(24-2x) = 24x-2x2, где 0< x< 12 (ибо 24-2x> 0). Таким образом, задача свелась к отысканию значения x, при котором S(x) принимает наибольшее значение на интервале (0; 12). Найдем S'(x) = 24-4x = 0 при x = 6. Легко видеть, что x = 6 – единственная точка экстремума – максимума функции S(x). Это означает, что на интервале (0; 12) S(x) принимает наибольшее значение при x = 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м и 24- 2 - 6 = 12 м.
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции: 8.41. 8.44. 8.47. 8.50. 8.53. 8.56. 8.59.
Найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции 8.61. 8.64. 8.67. Найти наибольшее или наименьшее значение (глобальный максимум или минимум) функции 8.69. 8.72. 8.75. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых сторон имеет периметр, равный 6 см. найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и найти этот объем. 8.76. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном, при которых на облицовку стен и дна пойдет наименьшее количество материала. Объем бассейна V фиксирован. 8.77. Требуется огородить два участка: один в форме правильного треугольника, другой в форме полукруга. Длина изгороди фиксирована и равна Р. Определить размеры участков (сторону треугольника и радиус полукруга) так, чтобы сумма площадей этих участков была бы наименьшей. 8.78. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины - на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
8.4. Интервалы выпуклости функции.
|