Решение. 8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Глава 8.

8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Краткая теория

1. Теорема Ролля. Пусть функция y = ƒ (x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a, b];

2) дифференцируема на интервале (a, b);

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ƒ (a) = ƒ (b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ (a, b), в которой производная равна нулю: ƒ ^′ (ξ) = 0.

2. Теорема Лагранжа. Пусть функция y = ƒ (x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a, b];

2) дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ (a, b), в которой выполняется равенство:

ƒ ′ (ξ) = . (8.1)

8.1. Выяснить, может ли быть применена теорема Лагранжа для функции + на отрезке:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Функция не является непрерывной в точке x = 0 , поэтому на данном отрезке теорема Лагранжа неприменима.

б) y′ = . Производная не существует в точке x = 1 , поэтому на этом отрезке теорема Лагранжа также не может быть применима.

в) на отрезке оба условия теоремы Лагранжа выполнены, так что теорема применима.

Замечание. Если теорема Лагранжа не применима на отрезке [a, b], то это не означает, что в нем не может быть точки ξ, удовлетворяющей равенству (8.1).

8.2. Указать хотя бы одно значение a, при котором функция y = имеет на интервале (0; ) точку, в которой производная обращается в нуль.

Решение. Очевидно, функция непрерывна на отрезке [0; ] и дифференцируема в интервале (0; ). Если при этом окажется, что ƒ (0) = ƒ (), то требуемая точка будет существовать по теореме Ролля. Таким образом, если выполняется равенство

e⁰ + a cos0 = e + a cos , то условие задачи будет выполнено. Рассматривая это равенство как уравнение относительно a, получаем a = -1.

Отметим, что найденное значение a, безусловно, не единственное, при котором условие задачи выполняется.

8.3. Найти все значения a, при которых функция y = (1+ a ²) удовлетворяет условию y′ ≤ 2 при всех x (0; 1).

Решение. Так как функция непрерывна на отрезке [0; 1] и дифференцируема в интервале (0; 1), то существует точка ξ (0; 1) такая, что ƒ ′ (ξ) = ƒ (1)-ƒ (0) =

= 2(1 + a ²) + 2-(1 + a ²) = 3+ a ² ≥ 3, при любых значениях a. Таким образом, ни при каких значениях а условие задачи выполняться не может.

8.4. Функция y = равна 1 при x =1 и x =-1, но y ′ ≠ 0 для всех x (-1; 1). Выяснить, противоречит ли это условиям теоремы Ролля?

8.5. Выяснить, применима ли для функции у = + на промежутке [-2; -1]:

а) теорема Ролля; б) теорема Лагранжа.

8.7. Дифференцируемая при всех значениях х функция у = ƒ (х) удовлетворяет условиям ƒ (2) = 5, ƒ (4) = 3. Для какого значения а уравнение ƒ ′ (х) = а заведомо имеет решение?

8.8. Функция у = ƒ (х) имеет производную, равную у ′ = 2 + + sin(2^х + 3). Может ли выполняться равенство ƒ (1)- ƒ (0) = sin α?