Краткая теория. Пусть функция — непрерывна, но не ограничена на полуинтервале

Пусть функция — непрерывна, но не ограничена на полуинтервале . В этом случае интеграл называется несобственным (второго рода) и, по определению,

(11.25)

Если предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует и конечен, то этот интеграл называется сходящимся; в противном случае — расходящимся.

Аналогично, если функция непрерывная, но неограниченная на полуинтервале то, по определению, (11.26)

Геометрически несобственные интегралы второго рода от неотрицательных функций численно равны площадям под графиками этих функций на рассматриваемых промежутках.

Если функция не является непрерывной в некоторой внутренней точке отрезка интегрирования, то интегралы от таких функций на данном отрезке сводятся к несобственным интегралам

(11.25), (11.26) с помощью свойства (11.7) определенного интеграла.

11.74. Вычислить интегралы:

а) ; б) ;

Решение:

а) Подынтегральная функция не ограничена вблизи точки х =1. Согласно (11.25), имеем

Геометрический смысл полученного результата: площадь подкривой на полуинтервале [0, 1) равна π /2 (ед.²) (рис. 11.16).

б) Подынтегральная функция не определена во внутренней точке х = 1 отрезка интегрирования [-7, 2] и не ограничена вблизи точки. Используя свойство (11.7) определенного интеграла, запишем исходный интеграл в виде суммы двух слагаемых:

Рис.11.16

,

для вычисления, которых применим определения (11.25), (11.26) (соответственно). Тогда получаем:

.

Вычислить интегралы (если они сходятся):

11.75..

11.76..

11.77..

11.78..

11.79..

11.80..

11.81...

11.82..

11.83..

11.84..

11.85..

11.86..

11.87..

11.88. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой и ее горизонтальной асимптотой при .

11.89. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, заключенной между кривой , ее вертикальной асимптотой и осью Ох на отрезке [2; 6].

11.90. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, заключенной между линиями и на полуинтервале .

11.4. Приближенное вычисление определенного интеграла