Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Ранг матрицы. Определение.Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров
|
|
Определение.Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Ранг матрицы будем обозначать так: 
.
Замечание. Если все миноры k -го порядка матрицы А равны нулю, то все ее миноры (k + 1)-го порядка тоже равны нулю. Таким образом, если 
, это значит, что у матрицы А есть отличный от нуля минор r -гопорядка, а все ее миноры (r + 1)-го порядка равны нулю.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) умножение строк и столбцов на число, отличное от 0;
2) прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число;
3) перестановка строк или столбцов.
Лемма 2.2. Последнее элементарное преобразование может быть получено последовательным применением первых двух
► Докажем утверждение для строк матрицы. Будем, как и раньше, обозначать сокращенно 
i -ю строку матрицы А.
.
Аналогично утверждение доказывается и для столбцов.◄
Теорема 2.2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
► Для первого элементарного преобразования утверждение, очевидно, выполняется, так как ранг матрицы зависит от того, будет ли минор равен нулю или нет. А это свойство минора не изменится при умножении строки или столбца на число, отличное от нуля. Если утверждение справедливо для второго преобразования, то его справедливость для третьего вытекает из доказанной леммы.
Доказательство проведем для строк матрицы А (для столбцов оно будет аналогичным). Обозначим 
матрицу, полученную из 
прибавлением к i -й строке k -й строки, умноженной на число 
.
.
Пусть . Надо доказать, что и 
. Разобьем доказательство на две части.
1. Покажем, что матрица имеет отличный от нуля минор r -го порядка.
а) Матрица А имеет отличный от нуля минор r -го порядка, не содержащий i -й строки. Этот же минор является и минором матрицы .
б) Все миноры r -го порядка матрицы А, не содержащие i -й строки, равны нулю. Пусть 
– отличный от нуля минор r -го порядка матрицы А. Рассмотрим минор 
матрицы , расположенный в тех же строках и столбцах.
(2.5)
(волна указывает, что эти строки короче, они содержат только те элементы, которые принадлежат выделенным столбцам). В равенстве (2.5) определитель 
равен нулю, так как при 
, это минор матрицы А, не содержащий i -й строки, а при 
, это определитель, имеющий две одинаковые строки. Таким образом, 
.
2. Покажем, что все миноры (r +1)-го порядка матрицы равны нулю.
а) Минор (r + 1)-го порядка матрицы не содержит i -й строки. Он является одновременно и минором матрицы А, а значит, равен нулю.
б) Минор 
(r + 1)-го порядка матрицы содержит i -ю строку. Тогда
. (2.6)
В равенстве (2.6) 
– минор (r + 1)-го порядка матрицы А и поэтому равен нулю. Что касается определителя 
, то при 
он содержит две одинаковые строки, а при 
- это минор (r + 1)-го порядка матрицы А, а значит, в обоих случаях = 0.◄