Неоднородные системы линейных уравнений

Пусть задана неоднородная система линейных уравнений

АХ = В (2.23)

в матричной записи. Наряду с (2.23) рассмотрим однородную систему

А Х = О (2.24)

с той же матрицей, что и система (2.23). Однородную систему (2.24) будем называть союзной к неоднородной системе (2.23).

Теорема 2.6. Справедливы следующие утверждения.

1.Разность решений неоднородной системы линейных уравнений является решением союзной к ней однородной системы.

2. Сумма решения неоднородной системы линейных уравнений и решения союзной к ней однородной является решением неоднородной системы.

3. Если неоднородная система линейных уравнений имеет решение , то любое ее решение Х может быть представлено в виде

, (2.25)

где – некоторое решение союзной к ней однородной системы.

► 1. – решения (2.23)} - решение (2.24}.

2. { – решение (2.23), – решение (2.24)} – решение (2.23)}.

3. Пусть система (2.23) имеет некоторое решение и пусть – ее произвольное решение. Положим . Тогда – решение (2.24) и .◄

Итак, если неоднородная система линейных уравнений имеет решение , то равенство (2.25) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех её решений и множеством всех решений союзной к ней однородной системы. Таким образом, если неоднородная система имеет решения, то она имеет их столько, сколько и союзная к ней однородная.

Вывод. Пусть – число неизвестных системы линейных уравнений (2.23). Если , то неоднородная система не имеет решений; если , то она имеет единственное решение, если же , то система (2.23) имеет бесчисленное множество решений. Кроме того, из (2.25) вытекает, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой некоторого ее частного решения и общего решения союзной к ней однородной системы.