Правило решения системы линейных уравнений

1. Вычисляем одновременно ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы, приводя матрицу А с помощью элементарных преобразований строк матрицы к простейшему виду. При этом получаем матрицу системы, равносильной исходной. Если , то система решений не имеет.

2. Если , то система имеет единственное решение, которое получается сразу же, как только мы запишем систему по последней матрице.

3. Если , то последние уравнений можно отбросить (они имеют вид 0 = 0), и перейдет в матрицу

.

Ее базисный минор расположен в первых столбцах, поэтому базисными будут первые неизвестных. Выписывая по полученной матрице систему и выражая все неизвестные через свободные, находим общее решение.

Пример. Решим методом Гаусса систему линейных уравнений

▼ Составляем расширенную матрицу и приводим ее к простейшему виду методом опорного элемента. При этом всякий раз получаем матрицу системы, равносильной исходной. Поэтому между матрицами можно ставить знак равносильности. Опорный элемент будем подчеркивать двойной чертой.

.

Базисный минор можно выбрать, например, в первом, третьем и четвертом столбцах. Тогда базисными будут неизвестные , а свободным – и . По последней матрице выписываем систему, причем свободные неизвестные переносим направо:

Общее решение выглядит так:

.▲