Однородные системы линейных уравнений

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю:

Часто удобно использовать и матричную запись:

АХ = О. (2.18)

Однородная система всегда совместна, она имеет, по крайней мере, решение , которое называется тривиальным. Исследуем возможность существования других решений. Предположим, что и что ее базисный минор расположен в левом верхнем углу. Тогда можно отбросить последних линейно зависимых уравнений. Неизвестные, коэффициенты при которых образуют базисный минор, называют базисными неизвестными, а остальные – свободными. Преобразуем систему следующим образом: базисные неизвестные оставим в левой части, а свободные перенесем направо. Получим систему уравнений, равносильную исходной:

(2.19)

Рассмотрим различные случаи.

1. Если , то в системе (2.19) число уравнений равно числу неизвестных, ее определитель совпадает с базисным минором и поэтому отличен от 0. Значит, по правилу Крамера система (2.19) имеет единственное решение, которое является тривиальным.

2. Пусть . Придадим свободным неизвестным какие-либо значения . Подставляя их в (2.19), получаем систему крамеровского типа:

(2.20)

Она имеет единственное решение . Тогда упорядоченный набор – решение системы (2.19) и исходной системы. Так как свободным неизвестным можно придать значения бесконечным числом способов, то при условии однородная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Вывод. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше количества неизвестных. В частности, если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

.

Свойства решений однородной системы линейных уравнений

1°. Сумма решений однородной системы также является ее решением.

► { X ₁, X ₂ – решения (2.18)} { A (X ₁+ X ₂) = AX ₁+ AX ₂ = О } { X ₁+ X ₂ – решение (2.18)}.◄

2°. Если решение однородной системы умножить на число, то также получим ее решение.

► { Х – решение (2.18)} { А (α Х) = α (АХ) = α О = О } {α Х – решение (2.18)}.◄

3°. При условии во множестве всех решений однородной системы линейных уравнений существует линейно независимая система, состоящая из решений.

► Построим систему решений следующим образом: для решения свободным неизвестным придадим значения , для – , и т. д., и найдем базисные неизвестные, решая (2.20):

, , …, (2.21)

(звездочками здесь отмечены значения неизвестных, которые для наших рассуждений не так уж и важны). Так как , то по теореме 2.4 система (2.21) линейно независима.◄

4°. Каждое решение однородной системы может быть представлено в виде линейной комбинации решений (2.21

► Обозначим X ₀ произвольное решение однородной системы,

,

и построим вспомогательный столбец

. (2.22)

Из свойств 1° и 2° вытекает, что и – также решения однородной системы. Но , где – некоторые числа. Подставив в (2.19), получаем систему крамеровского типа

которая имеет единственное тривиальное решение . Таким образом, , следовательно, .◄

Определение. Линейно независимое множество решений однородной системы линейных уравнений, через элементы которого любое решение этой системы может быть выражено в виде линейной комбинации, называется фундаментальной системой решений этой однородной системы.

Таким образом, множество всех решений однородной системы линейных уравнений совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций решений ее фундаментальной системы.

При доказательстве свойства 3° мы получили правило: для построения одной из фундаментальных систем решений следует свободным неизвестным придать значения по строкам единичной матрицы и найти соответствующие значения базисных неизвестных, решая систему (2.20). Можно доказать, что вместо единичной можно взять любую невырожденную матрицу (это вы докажете позднее в качестве упражнения). На практике сначала решают систему (2.20) в общем виде, выражая все неизвестные через свободные, а затем придают им необходимые значения.

Определение. Множество всех решений системы линейных уравнений, выраженное через параметры (свободные неизвестные), называется общим решением системы линейных уравнений. Каждое решение системы называется ее частным решением.

Чтобы получить какое-либо частное решение, следует в общем решении придать свободным неизвестным какие-то конкретные значения.