Общее определение тензора

ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

В этой главе мы будем рассматривать только действительное конечномерное линейное пространство и будем считать, что все встречающиеся индексы меняются в пределах от 1 до n, где n – размерность этого пространства.

Общее определение тензора

В предыдущих главах мы уже изучали различные объекты на линейном пространстве – линейные и билинейные формы, линейные операторы. Если в линейном пространстве задан базис

, (8.1)

то каждый из этих объектов в выбранном базисе задается совокупностью чисел, снабженных одним или двумя индексами. Если же в задан еще один базис

, (8.2)

то эти числа при переходе от одного базиса к другому меняются по определенным законам. Так, если – закон изменения базисных векторов, то

– закон изменения координат вектора,

– закон изменения компонент линейной формы,

– изменение элементов матрицы линейного оператора,

– изменение элементов матрицы билинейной формы

(здесь везде – матрица перехода от базиса (8.1) к базису (8.2), – обратная к ней). Мы видим, что компоненты некоторых объектов изменяются так же, как базисные векторы, т. е. при помощи матрицы перехода (например, компоненты линейной формы). Компоненты других изменяются противоположным образом, т. е. с помощью матрицы, обратной к матрице перехода (например, координаты вектора). При изменении же компонент третьих объектов используются обе эти матрицы. Заметим, что законы преобразований очень похожи друг на друга. Поэтому для дальнейшего изучения этих объектов мы объединяем их вместе одним общим определением.

Определение. Тензором типа (p, q) (или p раз контравариантным и q раз ковариантным) на линейном пространстве называется объект , который в каждом базисе (8.1) линейного пространства задается совокупностью чисел , снабженных p верхними и q нижними индексами, – компонент тензора, причем при переходе от базиса (8.1) к базису (8.2) компоненты тензора изменяются по закону:

, (8.3)

где - матрица перехода от (8.1) к (8.2), – обратная к ней. Этот закон преобразования впредь будем называть тензорным.

Число p + q называется валентностью (или рангом) тензора.

Для примера запишем закон преобразования тензора третьего ранга типа (2, 1):

.

Из приведенных выше формул делаем вывод, что вектор – это тензор типа (1, 0) (один раз контравариантный), линейная форма – тензор типа (0, 1) (один раз ковариантный), линейный оператор – один раз контравариантный и один раз ковариантный, а билинейная форма – дважды ковариантный тензоры.

Лемма 8.1. Если все компоненты тензора в некотором базисе пространства равны нулю, то в любом другом базисе все его компоненты тоже равны нулю.

Если соответствующие компоненты двух тензоров одинакового типа в каком-либо базисе пространства совпадают, то совпадают и их соответствующие компоненты в любом другом базисе.

► Доказательство очевидным образом вытекает из формулы (8.3).◄

Определения. Тензор называется нулевым, если все его компоненты в некотором, а значит, и в любом базисе пространства равны нулю.

Два тензора одного типа называются равными, если совпадают их соответствующие компоненты в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .

Тензор называется симметричным по паре верхних индексов или по паре нижних индексов, если при перестановке этих индексов его компоненты не меняются.

Например, если

,

то тензор симметричен по первому и третьему верхним индексам.

Тензор называется полностью симметричным по всем верхним (нижним) индексам, если он симметричен по любой паре верхних (нижних) индексов.

Тензор называется антисимметричным по паре верхних (нижних) индексов, если при перестановке этих индексов его компоненты лишь меняют знак.

Например, если

,

то тензор антисимметричен по первому и третьему нижним индексам.