Операции поднятия и опускания индексов

Вспомним, что в действительном евклидовом пространстве скалярное произведение является симметричной положительно определенной билинейной формой. Как и всякая билинейная форма – это тензор второй валентности, который называется метрическим тензором. В базисе (8.9) он задается компонентами , а в базисе (8.10) – компонентами . Заметим, что метрический тензор является симметричным.

Сейчас мы найдем связь между базисами (8.9) и (8.10). Каждый вектор из базиса (8.9) можно разложить по базису (8.10) и наоборот:

.

Тогда

; .

Таким образом, .

Найдем теперь связь между ковариантными и контравариантными координатами произвольного вектора. Из равенства (8.14) получаем . Разлагая же по базису (8.9), имеем . Сравнивая два последних разложения, делаем вывод:

. (8.17)

Аналогично получаем равенство

. (8.18)

Равенство (8.17) задает операцию поднятия, а равенство (8.18) – операцию опускания индекса для координат вектора. В силу того, что в евклидовом пространстве вводятся операции поднятия и опускания индексов, каждый индекс может занимать то верхнее, то нижнее положение. Поэтому в евклидовом пространстве у компонент тензоров индексы один под другим не пишутся (например, у тензора первые два индекса – верхние, а последние два – нижние).

Операции поднятия и опускания индексов для тензоров произвольного типа определяются так же, как и для векторов. Например, у тензора опустим второй индекс и поднимем четвертый:

;

у тензора опустим два первых индекса, а последний поднимем:

.