Пусть в линейном пространстве наряду с базисом (8.4) задан ещё один базис

(8.5)

и пусть – матрица перехода от (8.4) к (8.5), – обратная к ней. Записываем последовательную цепочку преобразований:

= [ и – тензоры] = =

= = .

Таким образом, для тензорного произведения теорема доказана.

При доказательстве теоремы для свертки используется равенство

, (8.6)

доказанное в § 9 гл. 3. Для упрощения записи опять же возьмем тензор типа (3, 2) и свернем его по второму верхнему и второму нижнему индексам. В результате получим объект , причем

= [ – тензор] = = =

=[(8.6)] = = [суммирование по ] = = .

Таким образом, теорема доказана и для свертывания.◄

Лемма 8.2. Пусть – некоторый набор чисел. Если для любого набора чисел

при всех значениях индексов от 1 и до , то опять же при всех значениях входящих индексов от 1 и до .

► Для упрощения записи доказательство проведем для однократного и двойного суммирований.

Однократное суммирование. Пусть Положим . Тогда

.

Двойное суммирование. Пусть для любого набора чисел и при всех

(8.7)

Положим . Тогда

.

Расшифруем подробнее это доказательство при . Равенство (8.7) выглядит так:

.

Если в (8.7) создается иллюзия, что на можно сократить, то при подробной записи видно, что этого сделать нельзя. Запишем при некоторых значениях и :

; ; .

Таким образом, видим, что из девяти чисел отличным от нуля будет только одно, что и позволяет в сумме (8.7) вычленить одно слагаемое. ◄

Теорема 8.2 (обратный тензорный признак). Пусть – объект, который в каждом базисе линейного пространства задается совокупностью чисел . Если в результате тензорного произведения или взаимного свертывания объекта с произвольным тензором заданного типа получится тензор, то исходный объект – тоже тензор.

► Для упрощения записи доказательство проведем для тензоров небольшой валентности. Пусть – неизвестный объект, и пусть для любого тензора типа (1, 1) тензорное произведение =

является тензором. Значит,

. (8.8)

Так как это равенство справедливо , положим при всех значениях и . Тогда из (8.8) вытекает, что . Таким образом, компоненты объекта Т меняются по тензорному закону, поэтому Т и является тензором.

Теперь проведем доказательство для однократного взаимного свертывания.

Пусть – неизвестный объект, и пусть для любого тензора типа (1, 0) результат взаимного свертывания по нижнему индексу объекта Т и верхнему индексу тензора является тензором. Если , где , то

.

Из этого равенства на основании леммы 8.2 мы и получаем, что . Аналогично утверждение доказывается и для большего количества свёртываний.◄