Тензоры в ортонормированных базисах

Если базис (8.9) ортонормированный то , значит,

,

т. е. взаимный базис совпадает с исходным. Поэтому взаимный базис тоже является ортонормированным. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной, т. е. , или

. (8.19)

Кроме того,

. (8.20)

Из равенств (8.19) и (8.20) видно, что если использовать только ортонормированные базисы, то все равно, где писать индексы – снизу или сверху. Поэтому в этом случае их принято все писать снизу, а суммирование проводить по тем индексам, которые в произведении встречаются дважды. Таким образом, в евклидовом пространстве можно сформулировать следующее определение тензора.

Определение. Пусть в евклидовом пространстве заданы два ортонормированных базиса:

(8.21)

и

. (8.22)

Ортогональным тензором -й валентности на евклидовом пространстве называется объект , который в каждом ортонормированном базисе пространства задаётся совокупностью чисел – компонент тензора, причем при переходе от ортонормированного базиса (8.21) к ортонормированному базису (8.22) эти компоненты меняются по закону:

,

где – матрица перехода от базиса (8.21) к (8.22).