Взаимные базисы

Рассмотрим теперь действительное евклидово пространство и выберем в нем какой-либо базис

. (8.9)

Можно показать, что в существует единственный базис

(8.10)

такой, что (кстати, вы это можете сделать в качестве упражнения).

Базис (8.10) называется взаимным или сопряженным к базису (8.9).

Выберем в еще один базис

(8.11)

и построим взаимный к нему:

. (8.12)

Каждый из векторов (8.12) можно разложить по базису (8.10). Условимся координаты векторов во взаимных базисах обозначать нижними индексами. Получаем

. (8.13)

Обозначим матрицу, составленную из координат векторов базиса (8.12) в базисе (8.10). Её естественно назвать матрицей перехода для взаимных базисов.

Замечание. Если по-прежнему считать верхний индекс номером строки, а нижний – столбца, то оказывается, что для взаимных базисов матрица перехода пишется не по столбцам, а по строкам. Так как в тензорном исчислении все преобразования проводятся в индексной форме, а не в матричной, то это не вносит никакой путаницы в рассуждения.

Отметим, кроме того, что

,

откуда вытекает, что , а значит, . Поэтому впредь значок ^ ни для матрицы перехода для взаимных базисов, ни для ее элементов мы использовать не будем.

Выберем теперь в произвольный вектор и разложим его как по базису (8.10), так и по базису (8.12):

(8.14)

и

. (8.15)

Тогда

(8.14) (8.16)

Сравнивая (8.15) и 8.1(6), на основании единственности координат вектора в данном базисе получаем . Таким образом, координаты вектора во взаимных базисах преобразуются по ковариантному закону, в отличие от координат вектора в обычных базисах, которые преобразуются по закону контравариантному. Поэтому координаты вектора в обычных базисах называются контравариантными, а во взаимных – ковариантными.