Пространства

Занимаясь математикой, мы встречались с различными множествами, которые в чем-то похожи друг на друга. Так, при изучении множеств всех свободных векторов, всех матриц одинаковых размеров, всех функций, заданных на действительной прямой, замечаем, что во всех этих множествах определены операции сложения и умножения на число, причем обладают эти операции одинаковыми свойствами. В связи с этим нет необходимости каждое из перечисленных множеств изучать в отдельности. Все похожие множества мы объединяем в одну категорию и изучаем одновременно на основании общих свойств одинаковых операций. Конечно, каждое из множеств обладает и какими-то особенностями. Например, во множестве свободных векторов определены операции векторного и смешанного произведения, во множестве матриц – транспонирования, а во множестве функций – дифференцирования. При изучении категорий мы отвлекаемся от различий входящих в нее множеств, а изучаем только их общие качества. Итак, сейчас мы приступаем к изучению первой категории в нашем курсе – категории линейных пространств.

§1. Определение линейного пространства и простейшие

следствия из аксиом

Будем называть полем и обозначать буквой Р множество действительных либо множество комплексных чисел.

Пусть V – множество элементов произвольной природы. Говорят, что в V задана внутренняя операция, если задан закон, по которому каждой паре элементов x и y, принадлежащих V, ставится в соответствие элемент z, также принадлежащий V.

Примерами внутренних операций являются: сложение во множествах чисел, матриц, векторов, функций; умножение во множестве чисел, векторное произведение.

Пусть теперь V – множество элементов произвольной природы, Р – поле действительных или комплексных чисел. Говорят, что в V задана внешняя операция – умножение на числа из Р –если задан закон, по которому каждой паре элементов x V и α Р ставится в соответствие элемент .

Примерами внешних операций являются: умножение чисел (V = Р = = R, или V = Р = С, или V = C, P = R), умножение вектора на число, умножение матрицы на число.

В определении линейного пространства участвуют два множества: множество элементов произвольной природы V иполе Р действительныхлибо комплексных чисел. Чтобы их различать, будем элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами со стрелками , а элементы поля Р – числа – малыми греческими буквами (α, β …).

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

1*. – коммутативность сложения.

2*. – ассоциативность сложения.

3*. существование нейтрального элемента).

4*. – существование противоположного элемента.

5*. .

6*. .

7*. .

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то комплексным.

Упражнение. Может ли действительное линейное пространство состоять только из одного элемента? Только из двух элементов?