Матричный критерий линейной зависимости и независимости

Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить по этому базису.

Координатным столбцом вектора в заданном базисе будем называть столбец , составленный из координат вектора в этом базисе.

Лемма 3.1. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.

► Пусть заданы векторы

, (3.26)

– их координатные столбцы в некотором базисе. Одновременно проводим доказательство и необходимости, и достаточности. Согласно следствию из свойств координат векторов, координатный столбец линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации координатных столбцов векторов-слагаемых. Имеем:

{(3.26) линейно зависима}

, не все равные нулю, что

, не все равные нулю, что {столбцы линейно зависимы}.◄

Теорема 3.1 (матричный критерий). Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.

Для того чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.

Доказательство вытекает из леммы 3.1 и теоремы 2.4.