Линейные оболочки

Определение. Линейной оболочкой системы элементов

(3.36)

линейного пространства V над P называется множество

т. е. это множество всевозможных линейных комбинаций элементов системы (3.36) (система (3.36) может быть и бесконечной).

Примерами могут служить: – множество всех векторов, параллельных плоскости Oxy, , совпадающая с предыдущей; – множество многочленов степени не выше двух.

Теорема 3.5. Линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства V над P является его подпространством, причем размерность линейной оболочки некоторой системы совпадает с максимальным количеством ее линейно независимых векторов.

► Выберем произвольные векторы и произвольное число ,

,

Тогда , а также

Таким образом, на основании теоремы 3.4 является подпространством пространства V.

Пусть m – максимальное количество линейно независимых элементов в (3.36) ( и пусть подсистема

– (3.37)

линейно независима (если это не так, переставим линейно независимые элементы на первые места). Имеем, во-первых,

.

Во-вторых, так как m – максимальное количество линейно независимых элементов в (3.36), то система линейно зависима, а значит, на основании свойства 4º линейной зависимости (§ 2),

такие, что . Следовательно,

: [замена индекса] = =

.

Таким образом, (3.37) – система образующих в , а значит, и базис, поэтому .t

Теорема 3.6. Размерность линейной оболочки строк (столбцов) матрицы А равна ее рангу.

uДоказательство проведем для строк матрицы. Пусть , и пусть базисный минор матрицы А расположен в первых r ее строках. Обозначим, как и раньше, – строки матрицы А. Тогда по теореме о базисном миноре система линейно независима, и такие, что Дальше точно так же, как и при доказательстве теоремы 3.5, показываем, что - система образующих в , а значит, и базис, и поэтому . Для столбцов доказательство проводится аналогично. t

Следствие. Ранг матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых ее строк (столбцов).

uПусть , а максимальное число линейно независимых строк матрицы равно k. Тогда

k = [теорема 3.5] = [теорема 3.6] = r. t

§ 8. Сумма и пересечение подпространств

линейного пространства

Определения. Пересечением подпространств и линейного пространства V над P называется его подмножество

Суммой подпространств и называется подмножество

Сумма подпространств называется прямой и обозначается если .

Теорема 3.7. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства также являются его подпространствами.

► Пусть и – подпространства линейного пространства V над P. Тогда

Таким образом, выполняются условия теоремы 3.4, значит, – подпространство пространства V.

Докажем теперь, что сумма подпространств – подпространство. Действительно,

Итак, в этом случае условия теоремы 3.4 также выполняются, и поэтому, – также подпространство пространства V. t

Теорема 3.8. Размерность прямой суммы подпространств равна сумме их размерностей.

► Пусть и – подпространства линейного пространства V над P, , и пусть

– (3.38)

базис , а

– (3.39)

базис . Покажем, что

– (3.40)

базис .

Действительно, : , .Кроме того,

Тогда , значит, ,

и, таким образом, (3.40) – система образующих в .

Линейную независимость (3.40) докажем на основании определения.

. (3.41)

Вектор в левой части (3.41) принадлежит пространству , а в правой – пространству . Так как сумма прямая, то , поэтому

На основании линейной независимости (3.38) и (3.39), получаем , откуда и вытекает линейная независимость (3.40). Таким образом, (3.40) – линейно независимая система образующих пространства , а значит, и его базис, и поэтому

.t