Свойства матрицы перехода

1º. Матрица перехода от одного базиса к другому определяется однозначно.

► Вытекает из того, что она состоит из координатных столбцов векторов одного базиса в другом.◄

2º. Матрица перехода всегда невырождена.

► На основании матричного критерия линейной независимости.◄

3º. Если Т – невырожденная квадратная матрица n -го порядка и

– (3.46)

некоторый базис пространства , то в существует базис

(3.47)

такой, что Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47).

► Пусть Положим (т. е. – вектор, чей координатный столбец в базисе (3.46) совпадает с i -м столбцом матрицы Т). Тогда (3.47) – линейно независимая система на основании матричного критерия, а значит, в является базисом. Из определения матрицы перехода вытекает, что Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47).◄

4º. Матрица перехода от базиса к нему самому является единичной.

► Доказательство вытекает из равенства .◄

5º. Если Т – матрица перехода от базиса (3.46) к базису (3.47), а - матрица перехода от (3.47) к базису

, (3.48)

то матрицей перехода от (3.46) к (3.48) является матрица

► Действительно, , , и поэтому . Утверждение вытекает из определения матрицы перехода.◄

6º. Если Т – матрица перехода от (3.46) к (3.47), то матрицей перехода от (3.47) к (3.46) является

► (3.45) , и утверждение опять вытекает из определения матрицы перехода.◄

Замечание. По аналогии с равенством (3.44) естественно записать равенство , и поэтому элементы матрицы перехода от (3.47) к (3.46) естественно обозначать . Учитывая, что эта матрица есть не что иное, как получаем: Так как и то и

Упражнение. Вычислить