Свойства координат векторов

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

► Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

► Пусть

() – (3.22) базис линейного пространства ;

(3.23)

разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что . ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

► Пусть некоторый вектор в базисе (3.22) имеет два разных набора координат: и . Тогда

() =

= [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] =

= (3.24)

Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (3.22) и пусть Тогда

(3.25)

Равенство (3.25) – это разложение вектора по базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем: ◄

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то