Простейшие следствия из аксиом.

Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.

1º. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

► Предположим, что в некотором линейном пространстве есть два нейтральных элемента: и . Тогда

Итак, мы пришли к противоречию.◄

2º. В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.

► Предположим, что некоторый элемент имеет два различных противоположных: и , т. е. . Получаем

–

опять пришли к противоречию.◄

3º.

► ◄

Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.

4º.

►

Таким образом, – противоположный к . Поэтому на основании 2-го следствия ◄

5º.

► ◄

6º. В линейном пространстве из равенства вытекает: либо , либо .

► а) – утверждение верно.

б) Тогда имеем:

◄

§ 2. Линейная зависимость и независимость

элементов линейного пространства

Определение. Система элементов

(3.1)

линейного пространства над полем Р называется линейно зависимой, если существуют числа из поля Р, не все равные 0, такие что

. (3.2)

Система (3.1) называется линейно независимой, если равенство (3.2) выполняется только в том случае, когда

, (3.3)

т. е. когда из равенства (3.2) вытекает (3.3).