Подпространства линейного пространства

Определение. Подмножество W линейного пространства V над P называется его подпространством, если оно само является линейным пространством относительно операций, заданных в V.

Например, R является подпространством пространства С над R (но не С над С), пространство всех непрерывных функций – подпространство пространства функций, заданных на всей числовой прямой. Любое линейное пространство V имеет два тривиальных подпространства: V и .

Теорема 3.4. Для того чтобы непустое подмножество W линейного пространства V над P было его подпространством, необходимо и достаточно, чтобы W было замкнуто относительно операций, заданных в V, т. е. чтобы выполнялись условия:

1)

2) .

► Необходимость. Пусть W – подпространство пространства V, значит, W – само линейное пространство относительно тех же операций, поэтому внутренняя и внешняя операции в V являются соответственно внутренней и внешней для W, следовательно, условия 1 и 2 выполняются.

Достаточность. Пусть теперь выполняются условия 1 и 2. Тогда операции, заданные в V, для W являются соответственно внутренней и внешней. Остается доказать выполнение аксиом из определения линейного пространства.

Аксиомы 1*, 2* и 5* – 8* в W выполняются, так как они выполняются в V (например, ).

Если – нейтральный элемент в V, то, конечно же, Но попал ли в W? Так как , то , и тогда на основании 2-го условия Таким образом, если W замкнуто относительно внешней операции, то оно обязательно содержит нейтральный элемент пространства V, а значит, аксиома 3* из определения линейного пространства выполняется.

Пусть . Тогда и . Опять вопрос: попал ли в W? И опять, на основании второго условия теоремы, , а значит, и аксиома 4* из определения линейного пространства также выполняется. t