К диагональному виду над полем Р

1. Составляем характеристический многочлен матрицы А и находим его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р, то А к диагональному виду не приводится.

2. Если все характеристические числа принадлежат полю Р, то для кратных корней проверяем условие (4.58) (для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней (4.58) не выполняется, то А к диагональному виду не приводится.

3. Если для каждого из собственных значений условие (4.58) выполняется, то А к диагональному виду приводится. Записываем этот диагональный вид – матрицу , располагая на ее главной диагонали собственные значения в произвольном порядке, причем каждое из значений повторяем столько раз, какова его кратность.

4. Записываем матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, – матрицу перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов, сохраняя порядок, установленный матрицей .

Пример. Найдем диагональный вид матрицы А и невырожденную матрицу Т, приводящую к этому диагональному виду, если

.

▼ 1.

2.

,

следовательно, А к диагональному виду приводится.

3. .

4. Находим собственные векторы:

;

Для искомого базиса находим два линейно независимых собственных вектора (фундаментальную систему решений): и .

: ;

( находим с помощью алгебраических дополнений).

4. Записываем T – матрицу перехода от исходного базиса к построенному базису из собственных векторов:

▲