Жорданова нормальная форма матрицы

Определение. Жордановой клеткой -го порядка называется матрица -го порядка вида

. (4.62)

Ужордановой клетки все диагональные элементы одинаковые, диагональ, параллельная главной и расположенная над ней, состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю. Характеристический многочлен жордановой клетки (4.62) выглядит так:

.

Таким образом, жорданова клетка имеет единственное характеристическое число , причем его кратность равна порядку этой клетки.

Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе

пространства совпадает с жордановой клеткой (4.62). Тогда:

.

Отсюда видно, что первый вектор этого базиса – собственный с собственным значением , а остальные – присоединенные к нему.

Определение. Жордановой матрицей называется блочно диагональная матрица, диагональными блоками которой являются жордановы клетки: .

Теорема 4.16. Для любой комплексной квадратной матрицы А существует невырожденная матрица Т такая, что матрица – жорданова (без доказательства).

Матрица называется жордановой нормальной формой матрицы А. Жорданова нормальная форма матрицы определяется однозначно с точностью до порядка следования клеток.

Замечание. Жорданова нормальная форма действительной матрицы А может оказаться матрицей комплексной. Она будет действительной в том и только в том случае, когда все характеристические числа матрицы А – действительные.