Теорема о ранге произведения линейных операторов

Пусть - линейный оператор,

– (4.33)

базис пространства , а

– (4.34)

базис пространства . Аналогично тому, как определялась матрица линейного оператора пространства в себя в заданном базисе, определяется и матрица оператора в паре базисов (4.33) и (4.34). Найдем образы векторов базиса (4.33):

, (4.35)

каждый из них разложим по базису (4.34), обозначим координатный столбец вектора в базисе (4.34), , и составим систему

(4.36)

из этих координатных столбцов.

Матрицей линейного оператора в паре базисов (4.33) и (4.34) называется матрица, составленная из координатных столбцов образов векторов базиса (4.33) в базисе (4.34). Очевидно, эта матрица имеет размеры.

Нетрудно показать, что при умножении линейных операторов их матрицы в соответствующих парах базисов перемножаются, как это было доказано для случая линейных операторов пространства в себя.

Теорема 4.11. Пусть – линейный оператор, A его матрица в паре базисов (4.33) и (4.34). Тогда .

► В § 3 третьей главы мы показали, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы в некотором базисе. Поэтому максимальное число линейно независимых элементов в системах (4.35) и (4.36) будет одинаковым. Обозначим это число .

Так каккаждый из векторов можно разложить по базису (4.33), то . Следовательно, . Тогда

[теорема 3.5] = =

= [теорема 3.6] = .◄

Следствие. Если – изоморфизм, то матрица A –невырождена.

Теорема 4.12. Пусть и – линейные операторы. Тогда , причем если один из операторов – изоморфизм, то ранг произведения равен рангу второго оператора.

► Обозначим . Нетрудно убедиться, что – подпространство пространства , и поэтому . Тогда

= ;

= .

Кроме того, если – изоморфизм, то

.

Если же – изоморфизм, то

.◄

Следствие. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Причем, если один из сомножителей – матрица невырожденная, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.