Операции над линейными операторами

Определения. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем .

Суммой линейных операторов и называется отображение такое, что : .

Произведением линейного оператора на число называется отображение такое, что : .

Произведением линейных операторов и называется отображение такое, что : (т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).

Теорема 4.3. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число и произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если , А и В – матрицы линейных операторов f и g соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов , и gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А + В, α А и ВА.

► Доказательство проведем для произведения линейных операторов.

Пусть и – линейные операторы. Тогда

= [линейность f ] = =

=[ линейность g ] = = ;

.

Таким образом, gf – линейный оператор.

Пусть – матрицы линейных операторов и соответственно в базисе пространства , и пусть – матрица оператора gf в том же базисе. Тогда по определению матрицы линейного оператора

. (4.25)

С другой стороны,

[линейность g ] = (4.26)

Сравнивая (4.25) и (4.26), на основании единственности координат вектора в данном базисе делаем вывод: , откуда и получаем матричную запись: С = ВА. ◄

Упражнение. Докажите, что множество

– линейный}

всех линейных операторов пространства в пространство есть линейное пространство над тем же полем, что и пространства и , относительно введенных операций сложения линейных операторов и умножения их на число. Найдите размерность .