Невырожденные линейные операторы

Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.

Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной

► Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда

{ f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение} { }.

Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄

Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.

► Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда

{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }

{ единственный , что } { f – взаимно однозначный}.◄

Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.

► Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда

{ } { } { }.

Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄