Обратный линейный оператор

Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора в некотором базисе, то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

► Единственность. Пусть некоторый оператор имеет два разных обратных: и . Тогда

– противоречие.

Существование. Пусть А – матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс .

Так как , и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄

Замечание. М ожно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.