Линейного оператора

Пусть – линейный оператор, – его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть – некомпланарные векторы, а – их образы. Обозначим и координатные столбцы в выбранном базисе векторов и соответственно, , – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (4.15), получаем

[(4.15) § 3] [§ 5 гл. 1] =

[§ 6 гл. 1] . (4.23)

Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку и линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в ( -мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в

. (4.24)

Обозначим координатный столбец вектора в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, объемом -мерного параллелепипеда (4.24) будем называть число

.

Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.

Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (4.23).

Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.