Понятие отображения

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .

Отображение называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:

1. такой, что .

2.

или одному, эквивалентному им, третьему условию:

3. такой, что

Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.

Отображения и называются равными, если .

Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение такое, что (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.

Примером произведения отображений является сложная функция.

Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения , и , то

.

uДля доказательства равенства отображений и нужно показать, что .

Итак, выберем произвольное . Тогда

; (4.1)

(4.2)

Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что : и поэтому, .t

Отображение называется обратным к отображению , если и (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Упражнение. Докажите следующие утверждения

1. Для того чтобы отображение f имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным.

2. Если отображение имеет обратное, то это обратное определяется однозначно.