Свойства изоморфизма

1. – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).

2. – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).

3. { , } – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).

Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.

Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.

► Пусть и пусть – изоморфизм. Выберем в какой-либо базис

(4.27)

и покажем, что система

– (4.28)

базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .

Докажем теперь линейную независимость (4.28).

[линейность f ]

[взаимная однозначность f ] [линейная независимость (4.27)] {(4.28) – линейно независима}.

Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄

Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.

► а) Докажем, что .

Выберем в какой-либо базис . Тогда : . Обозначим . Очевидно, отображение – взаимно однозначное. Кроме того, , :

:

Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .

б) Пусть теперь и – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда

{ и } [симметричность] { и и } [транзитивность] { }.◄

Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .