По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса

(4.31)

пространства . Обозначим . Очевидно,

– (4.32)

базис пространства . Докажем, что . Действительно,

где , а . Таким образом, . Покажем, что сумма прямая. Пусть . Тогда можно разложить как по базису (4.30), так и по базису (4.32): и . Получаем

,

откуда в силу линейной независимости (4.31) вытекает, что . Поэтому , а значит, сумма действительно прямая.

Покажем теперь, что . Построим отображение

.

Очевидно, – линейный оператор. Кроме того, такой, что . Так как , то где , . Тогда. . Таким образом, такой, что . Предположим, что таких векторов два, т. е. что , но . Имеем

.

Отсюда вытекает, что . Но , следовательно, , и поэтому . Итак, мы показали, что – взаимно однозначное отображение, следовательно, и изоморфизм. Так как изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то , откуда и вытекает доказываемое утверждение.

Рассмотрим теперь тривиальные случаи. Пусть , значит, . Тогда , . Если же , то . В обоих случаях равенство (4.29) выполняется. ◄

Следствие. Если – линейный оператор, то (т. е. ). Если же оператор – невырожденный, то , следовательно, (т. е. ).