Правило нахождения присоединенных векторов

Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором базисе, – координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:

что равносильно уравнению

.

Таким образом, видим, что для отыскания i -го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.

Пример. Найдем базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей

▼ Находим собственные значения.

.

Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.

,

, значит, в искомом базисе – один собственный вектор и два присоединенных. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей .

Получаем систему:

В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение . Теперь находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (4.59) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов по намеченным стрелкам:

.

Получаем систему

(4.60)

Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (4.60): , а второй – как решение системы с той же матрицей, но в качестве столбца свободных членов уже дописываем координатный столбец вектора , и опять пересчитываем его по намеченным стрелкам:

(4.61)

Частное решение системы (4.61) и будет вторым присоединенным вектором: .

Итак, искомый базис: – собственный; – 1-й присоединенный; – 2-й присоединенный векторы. ▲

Замечание. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам.