Векторы. Операции с векторами.

ПОПРОБУЙ РЕШАТЬ!!!

Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Линейная алгебра», преподаваемого на первом курсе факультета ЭТМО. Учитывается специфика факультета, направленность профессионального обучения бу­дущих инженеров-технологов.

Хотя основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор за­дач для самостоятельной доработки материала Предмета, по каждой теме представ­лена общая схема решения задачи и приведен частный пример применения общей схемы. Считаем важным также отработку принципов оформления материала по решён­ным задачам (домашние задания, контрольные работы и т.п.): инженер-технолог должен вырабатывать профессиональное восприятие оформления документа по любой разра­ботанной им задаче-технологии.

СОДЕРЖАНИЕ:

Стр.

Часть 1. Аналитическая геометрия (АГ):

§ 1. Векторы. Операции с векторами.............................................. 2

§ 2. Прямая на плоскости....................................................... 6

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве........................................... 7

Часть 2. Линейная алгебра (ЛА):

§ 4. Определители: вычисление.................................................. 6

§ 5. Матрицы: операции с матрицами............................................. 6

§ 6. Системы линейных уравнений............................................... 7

§ 7. Линейные пространства..................................................... 7

§ 8. Линейные преобразования (операторы)........................................ 7

§ 9. Квадратичные формы....................................................... 7

§ 10. Евклидовы пространства................................................... 7

Терпенье и труд все перетрут!!!

Векторы. Операции с векторами.

1.1. Дана система векторов: , , , . Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и все век­торы системы, не входящие в этот базис, выразить через векторы базиса.

Общие сведения. Базисом называют:

1^*. На прямой: любой ненулевой вектор . Всякий вектор , лежащий на этой прямой, мо­жет быть представлен в виде: = · , число – координата относительно этого ба­зиса.

2^*. На плоскости: любая пара неколлинеарных векторов , . Всякий вектор , лежащий в этой плоскости, может быть представлен в виде: = · + · , числа – коорди­наты относительно этого базиса.

3^*. В пространстве: любые три вектора , , , если они не компланарны. Всякий вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: = · + · + · , где , , – координаты вектора относительно этого базиса.

Так как пространство можно рассматривать как общий случай 3-мерного пространства, а плоскость и прямую как частные случаи, то решать задачу будем для 3-мерных векторов.

Общая схема решения задачи:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов.

2). Если базис выделен, записываем линейную комбинацию: = · + · + · .

3). Решая систему уравнений, вычисляем неизвестные: , , .

4). Оформляем ответ.

Примеры (и образец оформления):

Пример- 1^*: Заданы векторы: =(1), =(3), =(2). Найти какой-нибудь базис этой системы векто­ров и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой прямой, то признаком существования базиса является присутствие в совокупности векторов , , ненулевого вектора.

2). В качестве базиса примем вектор . Тогда можем записать: = · , = · .

3). Решаем уравнения: (3)= ·(1); (2)= ·(1), то есть уравнения: 3 = ·1; 2 = ·1, из чего следует: =3; =2.

Ответ: один из базисов: ; тогда: =3 , =2 .

Пример- 2^*: Заданы векторы: =(1, 2), =(3, 1), =(2, 3). Найти какой-нибудь базис этой системы век­торов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой плоскости, то признаком существова­ния базиса является наличие в совокупности векторов , , хотя бы двух неколлинеарных векторов. В нашем случае среди заданных векторов нет коллинеарных. Это значит: любая пара векторов из заданной совокупности векторов может быть принята в качестве базиса.

2). В качестве базиса примем векторы и . Тогда можем записать: = · + · , то есть: ·(1, 2)+ · (3, 1)=(2, 3). Используя свойства линейных операций с векторами, представим по­следнее равенство в виде: ( ·1+ ·3; ·2+ ·1)= (2, 3), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы уравнений: . Тогда можем записать: = .

Ответ: один из базисов: , ; тогда: = .

Пример- 3^*: Заданы векторы: =(3, 1, 2), =(1, 3, 1), =(-1, 2, 4), =(-2, 4, 7). Найти какой-нибудь ба­зис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторому пространству, то признаком сущест­вования базиса является наличие в совокупности векторов , , , хотя бы трёх некомпла­нарных векторов. Так как векторы , неколлинеарные, то будем проверять тройки векто­ров , , и , , , используя понятие смешанного произведения:

= = = 35 0, = = = -40 0.

2). В качестве базиса может быть принята любая из троек векторов из заданной системы векто­ров. Примем в качестве базиса тройку векторы , , . Тогда можем записать: = · + · + · , то есть: ·(3, 1, 2)+ ·(1, 3, 1)+ ·(-1, 2, 4)=(-2, 4, 7). Используя свойства ли­нейных операций с векторами, представим последнее равенство в виде: ( ·3+ ·1– ·1; ·1+ ·3+ ·2; ·2+ ·1+ ·4)=(-2, 4, 7), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы: . Тогда можем записать: = · + · + · .

Ответ: один из базисов: , , ; тогда: = · + · + · .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	=(3, 1, 2), =(1, 3, 1), =(-1, 2, 4), =(-2, 4, 7).	16.	=(2, 3, 1), =(2, 2, 3), =(4, 1, 2), =(8, 0, 5).
2.	=(1, 3, 0), =(2, -1, 1), =(1, -1, 2), =(6, 12, -1).	17.	=(4, 2, 3), =(3, 2, -1), =(4, 1, 2), =(3, 1, 8).
3.	=(2, 1, -1), =(4, 3, 2), =(1, -1, 1), =(1, -4, 4).	18.	=(1, 2, -1), =(3, 0, 2), =(-1, 1, 1), =(8, 1, 12).
4.	=(4, 1, 1), =(2, -1, -3), =(-1, 2, 1), =(-9, 5, 5).	19.	=(1, 4, 1), =(-3, 2, 0), =(1, -1, 2), =(-9, -8, -3).
5.	=(-2, 3, 1), =(1, 3, -1), =(2, 4, 1), =(-5, -5, 5).	20.	=(2, 1, -2), =(3, -1, 1), =(4, 1, 0), =(-5, 9, -13).
6.	=(5, 1, 1), =(2, -1, 3), =(1, 2, -1), =(13,, 7).	21.	=(0, 5, 1), =(3, 2, -1), =(-1, 1, 0), =(-15, 5, 6).
7.	=(3, 2, 1), =(-2, 2, 1), =(3, 1, -1), =(6, 12, -1).	22.	=(2, 2, -1), =(0, -2, 1), =(1, 3, 1), =(8, 9, 4).
8.	=(3, 1, 2), =(2, 1, 1), =(2, -1, 4), =(3, -3, 4).	23.	=(2, 2, 1), =(1, -2, 0), =(-3, 2, 5), =(3, -4, 0).
9.	=(4, 2, 1), =(-1, 2, 1), =(-1, 1, 2), =(3, 3, -1).	24.	=(2, 1, 3), =(3, 5, 3), =(4, 2, 1), =(3, 1, 3).
10.	=(-1, 2, 1), =(2, 1, 3), =(1, 1, -1), =(-1, 7, 4).	25.	=(2, 3, 1), =(1, -1, 2), =(2, -1, 0), =(-1, 7, 0).
11.	=(1, 1, 4), =(0, -3, 2), =(2, 1, -1), =(6, 5, -14).	26.	=(1, -1, 2), =(3, 2, 0), =(-1, 1, 1), =(11, -1, 4).
12.	=(1, -2, 0), =(1, 1, 3), =(1, 1, 4), =(6, -1, 7).	27.	=(-1, 1, 2), =(0, 3, 2), =(1, -1, 1), =(1, 3, -1).
13.	=(1, 0, 5), =(-1, 3, 2), =(1, -1, 1), =(5, 15, 0).	28.	=(2, 1, 3), =(-1, 0, 4), =(3, 2, 4), =(4, 1, 3).
14.	=(1, 3, 2), =(0, -1, 2), =(3, 3, 4), =(2, -1, 11).	29.	=(-3, 2, 4), =(-2, 0, 1), =(2, 3, 1), =(3, -2, 0).
15.	=(1, -1, 2), =(-1, 0, 1), =(2, 5, -3), =(11, 5, -3).	30.	=(5, 1, 3), =(0, 1, 2), =(-1, 1, 1), =(1, 1, 1).

1.2. Заданы точки A, B, C, D в правой системе координат. Вычислить указанные в заданиях величины с точностью 0.001.

а) проекцию вектора на вектор ;

б) площадь треугольника ABC;

в) объём тетраэдра .

Общие сведения: по всем представленным заданиям:

1). Для удобства применения необходимых выражений обозначим: A = , B = , C = , D = . Тогда можем записать выражения для векторов, используемые во всех названных за­дачах: = B–A = = ;

= D–A = = .

= C–A = = .

2). Теперь приступим к решению задач, применяя формулы из общей теории.

а)^*. Заданы векторы и . Требуется найти проекцию вектора на направление, определяе­мое вектором . Из выражения для скалярного произведения заданных векто­ров: проекция вектора на направление может быть вычислена по формуле: = . Рисунки иллюстрируют формулы:

Для векторов, заданных в координатной форме, запишем необходимые для вычисления выражения:

= ;

б)^*. Заданы векторы и . Требуется найти площадь треугольника, образованного векто­рами и . Известно, что площадь параллелограмма, заданного векторами и , опреде­ляется выражением: , где – модуль векторного произведе­ния векторов и . Для решаемой задачи это значит, что площадь треугольника, постро­енного на векторах и , можно вычислять по формуле:

, где = = = ∙ – ∙ j + ∙ k,

где – единичные векторы, определяющие направления осей правой прямоугольной системы координат .

в)^*. При вычислении объёма тетраэдра важно вспомнить, что , где – объём параллелепипеда. В задании требуется вычислить объём , определяемого тремя векторами , , . Но этими же векторами определяется параллелепипед, объём которого вычисляется при помощи смешанного (векторно-скалярного) произведения этих векторов. Для иллюстрации используемых при решении задачи формул удобно привести все векторы к общей точке: так как векторы свободные, то от этого они не изменяются. На рисунке показаны все участвующие в формулах элементы.

Имеем: ( x )∙ = ∙ = ∙ = ∙ , где | |=H, причём =H, если тройка векторов – правая и =–H, если – левая. Из этой фор­мулы следует: ( x )∙ = V – объём параллеле­пи­педа, но со знаком.

Так как в задании требуется вычислить только объём, то независимо от того, какая тройка используется в вариантах задания, все используют формулу: |( x )∙ |=| V |.

Итак, имеем векторы , , . Вычисляем:

( x )∙ = – + = = .

Записываем окончательную формулу: = |( x )∙ |.

Примеры (и образец оформления):

Общая часть. Пусть имеем точки A = =(1, 2, 0), B = =(1, 1, 2), C = =(2, 3, 1), D = =(0, 1, -1). Построим векторы: = B–A = = = (0, -1, 2);

= D–A = = =(-1, -1, -1).

= C–A = = =(1, 1, 1);

2). Теперь приступим к решению задач, применяя необходимые формулы.

Пример- а)^*: Используем полученные векторы: =(0, -1, 2), =(-1, -1, -1). Требуется найти проекцию вектора на направление, определяемое вектором .

Решение:

1). Воспользуемся формулой: = .

2). Вычислим: = = =–1.

3). Вычислим: = = .

4). Вычислим: = = =– =–0.577350269... При заданной точности вычислений при­мем: =–0.577.

Ответ: =–0.577.

Пример- б)^*: Используем полученные векторы: =(0, -1, 2), =(1, 1, 1). Требуется найти площадь треугольника, образованного векторами и .

Решение:

1). Общая формула: , где = = = ∙ – ∙ + ∙ .

2). Вычислим: = = ∙ – ∙ + ∙ = –3 +2 – .

3). Вычислим: = = .

4). Вычислим: = =1.87082869... При заданной точности вычислений примем: =1.871.

Ответ: =1.871.

Пример- в)^*: Заданы векторы: =(0, -1, 2), =(-1, -1, -1), =(1, 1, 1). В задании требуется вычислить объём тетраэдра , определяемого тремя векторами , , .

Решение:

1). Общая формула: = .

2). Вычислим: = = =0 – векторы , , компланарны.

3). Вычислим: |( x )∙ |=0.

4). Вычислим: =0. При заданной точности вычислений примем: =0.000.

Ответ: =0.000.

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий: