Задачу решим, применяя все рассмотренные способы.

Способ– 1. Используем равенство отклонений = каждой точки биссектрисы от сторон тупого угла, которому она принадлежит.

Решение:

1). Запишем векторы: , . Вычислим: ∙ =3·12+(-4)·5> 0. Это значит, что векторы и располагаются в области тупого угла.

2). Общая запись уравнения биссектрисы имеет вид: = , а в нашем случае: = , откуда получаем уравнение искомой биссектрисы: .

Ответ: .

Способ– 2. В этом случае применим схему решения задачи: а) находим точку пересечения прямых и ; б) находим направление бис­сектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.

Решение:

1). Координаты находим из системы урав­нений: → = .

2). Так как и , то и . Тогда: = – =– (3, 11). Вектор можно принять в качестве нормали искомой биссектрисы. Удобнее принять коллинеарный ему вектор: .

3). Общее уравнение биссек­трисы запишем в виде: . В нашем примере: 3 +11 =0, или .

Ответ: .

Способ– 3. Воспользуемся уравнением пучка прямых: , или в виде: и направляющим вектором =(11, –3)..

Решение:

1). Вычислим угловой коэффициент прямой пучка: .

2). Вычислим угловой коэффициент направляющего вектора: – .

3). Воспользуемся равенством: =– , откуда получаем: .

4). Подставляем значение в уравнение: . Окончательно записываем уравнение искомой биссектрисы: .

Ответ: .

Выводы: 1). В рассматриваемой задаче Способ– 1 демонстрирует великолепные возмож­ности использования нормальных уравнений прямой!

2). Применение Способа– 3 демонстрирует эффективность использования конструкции пучок.

3). Применение Способа– 2 также полезно, так как требует минимум специальных знаний. Это может сработать при выполнении контрольной работы!

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

2.2. Даны координаты вершин и треугольника и точка пересечения его высот. Найти координаты вершины треугольника.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Пусть прямая : x + y + = 0 определяет сторону треугольника, а прямая : x + y + = 0 сторону . Тогда вектор можем принять в качестве нормали прямой , а вектор в качестве нормали прямой . Остаётся воспользоваться уравнением прямой, для которой задан вектор нормали и точка, принадлежащая прямой! Как только будут построены уравнения прямых, нетрудно найти их точку пересечения .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть вершины и треугольника : =(-10, 2), =(6, 4) и точка пересечения его высот: =(5, 2). Найти координаты вершины .

Решение:

1) Вычислим: = – =(5, 2)–(6, 4)=(-1, -2)= ; = – =(5, 2)–(-10, 2)=(15, 0)= .

2). Заменим полученные векторы нормалей коллинеарныvми им, но более простые в записи:

=(1.2), =(1, 0).

3). Воспользуемся общим уравнение прямой для случая, когда задан вектор нормали прямой и точка, принадлежащая прямой: . Тогда получим:

: → ;

: → .

4). Вычислим координаты точки : откуда , .

Ответ: = .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.				16.
2.				17.
3.				18.
4.				19.
5.				20.
6.				21.
7.				22.
8.				23.
9.				24.
10.				25.
11.				26.
12.				27.
13.				28.
14.				29.
15.				30.

2.3. Даны координаты вершин треугольника . Составить уравнения: стороны , высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины A.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Для решения задачи необходимо вспомнить формулы, определяющие уравнение прямой, для случаев:

1^*. Заданы две точки, принадлежащие прямой. Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки записывают в форме : , где = .

2^*. Заданы: точка A, принадлежащая прямой, и направление прямой. Для построения уравнения прямой, содержащей высоту, опущенную на , учтём: . Это значит: . Так как после построения уравнения будет известно, то уравнение прямой может быть записано в виде: , где = .

3^*. Тремя точками задан угол с вершиной в точке . Прямая проходит через точку и делит угол: пополам. Эту задачу можно решить двумя вариантами:

а). Используем равенство углов: = . Обозначив угловой коэффициент прямой через , запишем: = , причём угловые коэффициенты сторон заданного угла вычисляют по формулам: , . Для искомой прямой уравнение принимает вид: : .

б). Определим направление стороны угла единичным вектором: , стороны – единичным вектором: . Тогда направляющий вектор прямой, совпадающей с биссектрисой может быть записан в виде: . После этого остаётся воспользоваться каноническим уравнением прямой: = .

4^*. Заданы: точка , принадлежащая прямой, и концы отрезка точками и . Прямая совпадает с медианой, проведённой из точки к середине отрезка – точке . Далее задача совпадает с задачей 1^*: записываем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки записывают в форме : , где = .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть задан треугольник его вершинами: , , . Составить уравнения: стороны , высоты, медианы и биссектрисы, проведённые из вершины A.

Решение задачи 1^*.

1). Уравнение прямой , содержащей точки и : , где = .

2). Вычислим = = =4.

3). Запишем уравнение прямой : , или в виде: .

Ответ: .

Решение задачи 2^*.

1). Уравнение прямой , содержащей высоту , опущенную на : , где = .

2). Учитывая результат задачи 1*, вычислим = = .

3). Запишем уравнение прямой : , или в виде: .

Ответ: .

Решение задачи 3^*.

1). Уравнение биссектрисы определим двумя способами.

Способ -1. Общая запись уравнения: : y – = (x – ), где вычисляем из выражения: = , причём , .

1). Вычислим , . Тогда =0.

2). Уравнение принимает вид: .

Ответ: .

Способ -2. Общая запись канонического уравнения : = , где = , причём , = = ; = = = .

1). Вычислим: = =(4, -3) –(1, 1)=(3, -4); =5 → = (3, –4);

= =(7, 9) –(1, 1)=(6, 8); =10 → = (3, 4).

2). Тогда: = (3, –4)+ (3, 4)= (3, 0) → принимаем: =(1, 0).

3). Получили уравнение в виде: = , или: .

Ответ: .

Решение задачи 4^*.

1). Уравнение прямой , содержащей медиану , проведённую из точки к середине отрезка – точке , имеет вид: , где = .

2). Вычислим координаты точки M из условия: = , или M = = = .

3). Тогда: = = и уравнение принимает вид: , или: .

Ответ: .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.				16.
2.				17.
3.				18.
4.				19.
5.				20.
6.				21.
7.				22.
8.				23.
9.				24.
10.				25.
11.				26.
12.				27.
13.				28.
14.				29.
15.				30.