![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные преобразования (операторы). ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
8.8. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. Найти матрицу оператора в базисе из собственных векторов. Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания необходимо знать: Если задана матрица
Решая уравнение:
Эти корни являются собственными значениями линейного преобразования
вектор Для нахождения собственных векторов линейного преобразования
Если в качестве базиса линейного векторного пространства выбрать все собственные векторы, то матрица линейного преобразования будет иметь в этом базисе самый простой вид, а именно:
Примеры (и образец оформления): Пример – 1: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: Решение: Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни; 2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов; 3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования. 4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования. 1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:
его корни: 2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:
3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1) для
где x3 свободная неизвестная; пусть x3 = –с, тогда x1 = с, x2 = с, получаем: 4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: Ответ: собственные значения: Пример – 2: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: Решение: Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни; 2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов; 3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования. 4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования. 1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:
= ( его корни: 2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:
3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1): для где для где для где 4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: Ответ: собственные значения: Варианты индивидуальных заданий:
|